高一数学上半年总结范文（精选3篇）
1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
顶点坐标
对称轴
y=ax^2
(0，0)
x=0
y=a(x-h)^2
(h，0)
x=h
y=a(x-h)^2+k
(h，k)
x=h
y=ax^2+bx+c
(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)
x=-b/2a
当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h0，k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h>0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h0时，开口向上，当a0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a0(a2} ,{x| x-3>2}
3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4) Venn图:
4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意： 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’)，即A B={x|x A，且x B｝.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：A B(读作‘A并B’)，即A B ={x|x A，或x B}).
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)
二、函数的有关概念
1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意：
1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .
(2) 画法
A、 描点法：
B、 图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f：A→B
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质;
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
○1 任取x1，x2∈D，且x1
○2 作差f(x1)-f(x2);
○3 变形(通常是因式分解和配方);
○4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
○5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;
○2确定f(-x)与f(x)的关系;
○3作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数.
(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;
(3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
○2 利用图象求函数的最大(小)值
○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.
二、复合函数定义域问题：
（一）例题剖析：
(1)、已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域
思路：设函数f(x)的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)D，解得xE，E为fg(x)的定义域。
例1.设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_____________。解析：函数f(u)的定义域为（0，1）即u(0，1)，所以f的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以0lnx1解得x(1，e)，故函数f(lnx)的定义域为（1，e）例2.若函数f(x)1x1，则函数ff(x)的定义域为______________。
1x1解析：先求f的作用范围，由f(x)，知x1
即f的作用范围为xR|x1，又f对f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x应满足x1即1，解得x1且x2
1x1x1f(x)1
故函数ff(x)的定义域为xR|x1且x2（2）、已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域
思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xE，E为f(x)的定义域。
例3.已知f(32x)的定义域为x1，2，则函数f(x)的定义域为_________。解析：f(32x)的定义域为1，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范围为1，5，又f对x作用，作用范围不变，所以x1，5
即函数f(x)的定义域为1，5
2例4.已知f(x4)lg2x2x8，则函数f(x)的定义域为______________。
解析：先求f的作用范围，由f(x4)lg2x22x8，知
x22x80
解得x244，f的作用范围为(4，)，又f对x作用，作用范围不变，所以x(4，)，即f(x)的定义域为(4，)
（3）、已知fg(x)的定义域，求fh(x)的定义域
思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，f的作用范围为E，又f对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x)E，解得xF，F为fh(x)的定义域。
例5.若函数f(2x)的定义域为1，1，则f(log2x)的定义域为____________。
1解析：f(2)的定义域为1，1，即x1，1，由此得2，2
2f的作用范围为
1，22又f对log2x作用，所以log2x，2，解得x2即f(log2x)的定义域为
12，4
2，4
评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。
（二）同步练习：
21、已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求函数f(x)的定义域。
答案：[1,1]
2、已知函数f(32x)的定义域为[3,3]，求f(x)的定义域。
答案：[3,9]
3、已知函数yf(x2)的定义域为(1,0)，求f(|2x1|)的定义域。
(12,0)(1,3)答案：
2
4、设fxlg2xx2，则ff的定义域为
2x2xA.4,00,4B.4,11,4C.2,11,2D.4,22,4
x22,2x20得，f(x)的定义域为x|2x2。故解：选C.由，解得2x222.xx2x4,11,4。故ff的定义域为4,11,4
2x5、已知函数f(x)的定义域为x(［解析］由已知，有1ax3,13x,)，求g(x)f(ax)f(a0)的定义域。22a221x3,2a212x32112aa2x3232aa.,
x（1）当a1时，定义域为{x|（2）当
32a32}；a2a，即0a1时，有a2x32a}；
12a2a，
定义域为{x|（3）当
32a32a，即a1时，有1x32a}.12aa2a2，
定义域为{x|2a故当a1时，定义域为{x|xx32a32}；
当0a1时，定义域为{x|a}.
［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。
三、复合函数单调性问题
（1）引理证明已知函数yf(g(x)).若ug(x)在区间(a,b）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数yf(g(x))在区间(a,b）上是增函数.
证明：在区间(a,b）内任取两个数x1,x2，使ax1x2b
因为ug(x)在区间(a,b）上是减函数，所以g(x1)g(x2),记u1g(x1),
u2g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d)
因为函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)f(u2),即f(g(x1))f(g(x2))，
故函数yf(g(x))在区间(a,b）上是增函数.（2）.复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：
yf(u)ug(x)yf(g(x))增增增减减增减减减增以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数yf(g(x))的单调性判断步骤：确定函数的定义域；
将复合函数分解成两个简单函数：yf(u)与ug(x)。分别确定分解成的两个函数的单调性；
若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为减函数。
（4）例题演练例1、求函数ylog212(x2x3)的单调区间，并用单调定义给予证明2解：定义域x2x30x3或x1
单调减区间是(3,)设x1,x2(3,)且x1x2则
y1log2(x12x13)y2log122(x22x23)122(x12x13)(x22x23)=(x2x1)(x2x12)
2∵x2x13∴x2x10x2x120∴(x12x13)>(x22x23)又底数0∴y2y10即y2y1∴y在(3,)上是减函数22121
同理可证：y在(,1)上是增函数［例］2、讨论函数f(x)loga(3x22x1)的单调性.［解］由3x22x10得函数的定义域为
1{x|x1,或x}.
3则当a1时，若x1，∵u3x22x1为增函数，∴f(x)loga(3x22x1)为增函数.
若x13，∵u3x22x1为减函数.
∴f(x)loga(3x22x1)为减函数。
当0a1时，若x1，则f(x)loga(3x22x1)为减函数，若xf(x)loga(3x22x1)为增函数.
13，则
例3、.已知y=loga(2-a)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.解：∵a＞0且a≠1
当a＞1时，函数t=2-a>0是减函数
由y=loga(2-a)在［0，1］上x的减函数，知y=logat是增函数，∴a＞1
由x［0，1］时，2-a2-a＞0,得a＜2,∴1＜a＜2
当0例4、已知函数f(x2)ax2(a3)xa2（a为负整数）的图象经过点
(m2,0),mR，设g(x)f[f(x)],F(x)pg(x)f(x).问是否存在实数p(p0)使得
F(x)在区间(,f(2)]上是减函数，且在区间(f(2),0)上是减函数？并证明你的结论。
［解析］由已知f(m2)0，得am2(a3)ma20，其中mR,a0.∴0即3a22a90，解得
1273a1273.
∵a为负整数，∴a1.
∴f(x2)x4x3(x2)21，
2242即f(x)x21.g(x)f[f(x)](x1)1x2x，
∴F(x)pg(x)f(x)px4(2p1)x21.
假设存在实数p(p0)，使得F(x)满足条件，设x1x2，
22)[p(x12x2)2p1].∴F(x1)F(x2)(x12x2∵f(2)3，当x1,x2(,3)时，F(x)为减函数，
220,p(x12x2)2p10.∴F(x1)F(x2)0，∴x12x2218,∵x13,x23,∴x12x22)2p116p1,∴p(x12x2∴16p10.①
当x1,x2(3,0)时,F(x)增函数,∴F(x1)F(x2)0.
220,∴p(x12x2)2p116p1,∵x12x2∴16p10.由①、②可知p116②
，故存在p116.
（5）同步练习：
1.函数y＝logA.（－∞，1）C.（－∞，
3212（x2－3x＋2）的单调递减区间是
B.（2，＋∞）D.（
32），＋∞）
解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）
在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝log12（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减.
答案：B
2找出下列函数的单调区间.
（1）yax（2）y223x2(a1)；.
x22x3答案：(1)在(,]上是增函数，在[,)上是减函数。
2233（2）单调增区间是[1,1]，减区间是[1,3]。
3、讨论yloga(a1),(a0,且a0)的单调性。
答案：a1,时(0,)为增函数，1a0时，(,0)为增函数。4.求函数y＝log13x（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间.
解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R，所以函数的值域是R.因
＋＋
为函数y＝log13（x2－5x＋4）是由y＝log13（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，函
52数y＝log13（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，
）
上为减函数，在［
52，＋∞］上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝log13（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝log13（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4也
为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝log1（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝log313（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）.
变式练习一、选择题
1.函数f（x）＝log
A.（1，＋∞）C.（－∞，2）
12(x－1)的定义域是
B.（2，＋∞）
2]D.(1，解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，
x－1＞0所以log(x－1)120解得1＜x≤2.
答案：D2.函数y＝log
12（x2－3x＋2）的单调递减区间是
B.（2，＋∞）D.（
32A.（－∞，1）C.（－∞，
32），＋∞）
解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝log12（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减.
答案：B
3.若2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，则
A.4
yx的值为B.1或D.
1414
C.1或4
yx错解：由2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有
14＝或
xy＝1.
答案：选B
正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x－2y＞0，所以x＞2y.所以x＝y舍掉.只有x＝4y.答案：D
4.若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝log的取值范围为
A.（0，C.（
12122a（x＋1）满足f（x）＞0，则a
）
B.（0，1）D.（0，＋∞）
，＋∞）
解析：因为x∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）.当f（x）＞0时，根据图象只有0＜
2a＜l，解得0＜a＜答案：A
12（根据本节思维过程中第四条提到的性质）.
5.函数y＝lg（
21－x－1）的图象关于
1＋x1－xA.y轴对称C.原点对称
21－x
B.x轴对称D.直线y＝x对称
1＋x1－x解析：y＝lg（
－1）＝lg，所以为奇函数.形如y＝lg或y＝lg1＋x1－x的函数都为奇函数.答案：C二、填空题
已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________.解析：a＞0且a≠1（x）＝2－ax是减函数，要使y＝loga（2－ax）是减函数，则a＞1，又2－ax＞0a＜答案：a∈（1，2）
7.函数f（x）的图象与g（x）＝（的单调递减区间为______.
解析：因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）＝log则f（2x－x2）＝log132x（0＜x＜1）a＜2，所以a∈（1，2）.
13）的图象关于直线y＝x对称，则f（2x－x2）
13（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2.
（x）＝2x－x2在（0，1）上单调递增，则f［（x）］在（0，1）上单调递减；（x）＝2x－x2在（1，2）上单调递减，则f［（x）］在［1，2）上单调递增.所以f（2x－x2）的单调递减区间为（0，1）.答案：（0，1）
8.已知定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞］上是增函数，且f（则不等式f（log4x）＞0的解集是______.解析：因为f（x）是偶函数，所以f（－
1212）＝0，
）＝f（
12）＝0.又f（x）在［0，＋∞］
12上是增函数，所以f（x）在（－∞，0）上是减函数.所以f（log4x）＞0log4x＞
9
或log4x＜－
12.
12解得x＞2或0＜x＜
.
12答案：x＞2或0＜x＜三、解答题9.求函数y＝log13
（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间.
解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R，所以函数的值域是R
＋＋
.因为函数y＝log1（x2－5x＋4）是由y＝log313（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，
52函数y＝log13（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，
）
上为减函数，在［
52，＋∞］上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝log13（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝log13（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4也
为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝log1（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝log313（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）.10.设函数f（x）＝
23x＋5＋lg3－2x3＋2x，
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；
（3）已知函数f（x）的反函数f1（x），问函数y＝f1（x）的图象与x轴有交点吗?
－－
若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由.解：（1）由3x＋5≠0且＜
323－2x3＋2x＞0，解得x≠－
53且－
32＜x＜
32.取交集得－
32＜x
.
2（2）令（x）＝
3－2x3＋2x＝－1＋
3x＋56，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；
3＋2x随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数.
又y＝lgx在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y＝lg（x）＝
23x＋53－2x3＋2x是减函数，所以f
＋lg3－2x3＋2x是减函数.
（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解.
设函数f（x）的反函数f1（x）与工轴的交点为（x0，0）.根据函数与反函数之间定义
－
域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x0），将（0，x0）代入f（x），解得x0＝
一.指数函数与对数函数
.同底的指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数；
（二）主要方法：
1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；
2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3.比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差.（三）例题分析：
2例1.（1）若aba1，则logbxyz（2）若23525.所以函数y＝f1（x）的图象与x轴有交点，交点为（
－
25，0）。
ba，logba，logab从小到大依次为；
z都是正数，，且x，则2x，y，3y，5z从小到大依次为；
（3）设x0，且ab1（a0，b0），则a与b的大小关系是
（A）ba1（B）ab1（C）1ba（D）1ab
2解：（1）由aba1得
baa，故logbbxyz（2）令235t，则t1，xalgtlogba1logab.
lg2，ylgtlg3，zlgtlg5，
∴2x3y2lgtlg23lgtlg3lgt(lg9lg8)lg2lg30，∴2x3y；
同理可得：2x5z0，∴2x5z，∴3y2x5z.（3）取x1，知选（B）.例2.已知函数f(x)ax(a1)，
x1求证：（1）函数f(x)在(1,)上为增函数；（2）方程f(x)0没有负数根.
x2证明：（1）设1x1x2，则f(x1)f(x2)aax1x12x11x2ax2x22x21
ax1x1ax12x11x22x21ax23(x1x2)(x11)(x21)，
∵1x1x2，∴x110，x210，x1x20，∴
3(x1x2)(x11)(x21)0；
∵1x1x2，且a1，∴ax1ax2，∴aax1x20，
∴f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴函数f(x)在(1,)上为增函数；（2）假设x0是方程f(x)0的负数根，且x01，则a即ax0x0x02x010，
2x0x013(x01)x013x011，①3x013，∴
3x0112，而由a1知ax0当1x00时，0x011，∴∴①式不成立；
当x01时，x010，∴
3x011，
0，∴
3x0111，而ax00，
∴①式不成立.
综上所述，方程f(x)0没有负数根.
例3.已知函数f(x)loga(ax1)（a0且a1）.求证：（1）函数f(x)的图象在y轴的一侧；
（2）函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.
证明：（1）由a10得：a1，
∴当a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(0,)，此时函数f(x)的图象在y轴的右侧；
当0a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(,0)，此时函数f(x)的图象在y轴的左侧.
∴函数f(x)的图象在y轴的一侧；
（2）设A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数f(x)图象上任意两点，且x1x2，则直线AB的斜率ky1y2x1x2x1x2，y1y2loga(a1)loga(ax1x1x21)logax2aa11，
当a1时，由（1）知0x1x2，∴1a∴0aax1x2ax2，∴0a1ax11，
111，∴y1y20，又x1x20，∴k0；
x1当0a1时，由（1）知x1x20，∴a∴
ax1x2ax21，∴ax11ax210，
1，∴y1y20，又x1x20，∴k0.1∴函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.
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高一上学期数学教学工作总结
时间过得真快，转眼间高一上学期的工作就结束了。
回想起这学期的工作，我感受颇多。这学期，我担任了高一(1)班班主任及高一(1)、(3)班的数学教学工作。首先，我想就数学教学工作谈谈我及我们备课组的一些做法：
一、对学生严格要求，培养良好的学习习惯和学习方法
学生在从初中到高中的过渡阶段，往往会有些不能适应新的学习环境。例如新的竞争压力，以往的学习方法不能适应高中的学习，不良的学习习惯和学习态度等一些问题困扰和制约着学生的学习。为了解决这些问题，我确实下了一翻功夫。
1、改变学生学习数学的一些思想观念，树立学好数学的信心
在开学初，我就给他们指出高中数学学习较初中的要难度大，内容多，知识面广，让他们有一个心理准备。我们班是一个重点班，全班大多数同学初中升高中成绩比较好，这造成一些成绩相对较差学生有自卑感，害怕自己不能学好数学;相反有些成绩较好学生骄傲自大，放松对数学的学习。对此，我给他们讲清楚，大家其实处在同一起跑线上，谁先跑，谁跑得有力，谁就会成功。对较差的学生，给予多的关心和指导，并帮助他们树立信心;对骄傲的学生批评教育，让他们不要放松学习。
第一次月考，全班很多同学考得不好，甚至有个别同学只有三、四十分。有个以前成绩较好女生哭着对我说，她从来没有考过这么低的分，对学好数学没有信心。我耐心给她分析没考好的原因，一是试卷的难度大，二是考查的知识点上课时没能重点掌握，三是没有做好复习工作，教给她要注意的地方。经过她自身的努力，期中考试中，这位女生数学考了96分。一段时间的调整，全班基本上树立了能学好数学的信心。
2、改变学生不良的学习习惯，建立良好的学习方法和学习态度
开始，有些学生有不好的学习习惯，例如作业字迹潦草，不写解答过程;不喜欢课前预习和课后复习;不会总结消化知识;对学习马虎大意，过分自信等。我要求统一作业格式，表扬优秀作业，指导他们预习和复习，强调总结的重要性，并有一些具体的做法，如写章节小结，做错题档案，总结做题规律等。对做得好的同学全班表扬并推广，不做或做得差的同学要批评。在我的严格要求下，大多数同学能很快接受，慢慢的建立起好的学习方法和认真的学习态度。当然，要改变根深蒂固的问题并不容易，这学期还要坚持下去。
二、刻苦钻研教材，不断提高自身的教学教研能力
高一虽然已经教过了几轮，但是每一年的感觉都不一样。从不敢因为教过而有所懈怠。我还是像一位新老师一样认真阅读新课标，钻研新教材，熟悉教材内容，查阅教学资料，适当增减教学内容，认真细致的备好每一节课，真正做到重点明确，难点分解。遇到难以解决的问题，就向老教师讨教或在备课组内讨论。另外，我还积极阅读教学教参书籍及教学论文，如《中学数学教学参考》等，认真学习各种教学方法，并尝试运用到实践教学中去，当然，还有很多是不成熟。
积极参加各种教研活动，如集体备课，校内外听课，教学教研会议。努力提高课堂教学的操作调控能力，语言表达能力，运用多种教学器材，为了节省时间和增加课堂容量，我坚持用多媒体课件上课。课下，根据自己的理解，选题、出检测试卷，这样也提高了我对教材重难点的理解。
积极安排时间做好学生的辅导工作，学生有问题及时解决。
坚持了一个学期，我感觉收获颇多。
三、备课组的精诚合作是取得成绩的关键
如果说高一数学取得了一点成绩的话，那也是我们备课组在教学能力强、经验丰富的何艳文组长的带领下，团结合作的结果。我们的备课组做事非常齐心。我们坚持集体备课。集体备课使我们对教材的认识达到统一，理解更深刻，时间安排一致。除了规定的时间集体备课外，我们还经常在一起讨论，解决问题。其次，统一测试、统一复习资料。平时，备课组安排老师出单元资料、检测题，然后统一使用。在期末复习阶段，组长安排每个老师负责出各章节的复习资料、复习题，资料共享。所以，最后的成绩是我们备课组全体老师共同努力的结果。
四、存在的困惑：
1.书本习题都较简单和基础，而我们的教辅题目偏难，加重了学生的学习负担，而且学生完成情况很不好。课时又不足，教学时间紧，没时间讲评这些练习题。
2.在教学中，经常出现一节课的教学任务完不成的现象，更少巩固练习的时间。勉强按规定时间讲完，一些学生听得似懂非懂，造成差生越来越多。而且知识内容需要补充的内容有：因式分解的十字相乘法;一元二次方程及根与系数的关系;解不等式等知识。
3.虽然经常要求学生课后要去完成教辅上的精选的题目，但是，相当部分的同学还是没办法完成。学生的课业负担太重，有的学生则是学习意识淡薄。
五、今后要注意的几点
1.要处理好课时紧张与教学内容多的矛盾，加强对教材的研究;
2.注意对教辅材料题目的精选;
3.要加强对数学后进生的思想教育。