作为一名默默奉献的教育工作者，就难以避免地要准备教案，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。那么应当如何写教案呢？这次帅气的小编为您整理了《分数乘法》数学教案（优秀9篇），希望能够给予您一些参考与帮助。
1、分数乘法
第一课时分数乘整数
教学内容：教材第8页的例1，第9页的例2以及“做一做”，练习二中的第1、2题。
教学目标：让学生掌握分数乘正整数的计算方法，并能准确地进行计算。
重难点、关键
分数乘整数的计算方法。
教学准备：电脑课件
教学过程：一、旧知铺垫
1、计算下列各题
2/11+2/11+2/11
过程要求
(1)写出计算过程。
(2)说一说分数加法的计算方法。
2、想一想，能不能把2/11+2/11+2/11改写成乘法算式呢？
二、探索新知
1、教学例1
（1）出示例题
根据题意，电脑课件呈现示意图。
（2）根据题意列出解答算式：
2/11+2/11+2/11=2+2+2/11=6/11
2/11×3=6/11
(3)探索分数乘整数的计算方法。
师：2/11×3=，说一说你是怎么想的？
①学生在小组交流各自的想法
②小组讨论后反馈思维的过程和结果
教师板书：
③总结分数乘整数的计算方法。
A、学生口述分数乘整数的计算方法；
B、教师整理并板书：
分数乘整数，整数与分子相乘的乘积作分子，分母不变。
2、教学例2
计算：3/8×6
(1)学生独立计算。
(2)交流计算方法和步骤。
(3)比较计算过程，看一看哪一种更为简单
(3)归纳：能约分的要先约分，再计算。
三、巩固练习
1、完成课本“做一做”。
（1）学生独立完成，然后计算过程和结果。
（2）第3题，说一说你是怎样计算的？怎样想的？
一般要求学生列综合算式计算。如：
6/7×10×7==60(kg)
2、课本练习二第1、2题
四、课后作业设计
一、计算
7/8×73/4×81/9×31/2×4
5/6×55/18×327×2/33/816×
三、列式计算
1、3个5/8是多少？2、2/3的6倍是多少？
3、5/14扩大7倍以后是多少？4、5/6与24的积是多少？
课后反思：
第二课时分数乘分数
教学内容：教材第10页例3，第11页例4以及“做一做”，练习二中的3、4题
教学目标：
1、理解一个数乘分数就是求一个数的几分之几是多少。
2、掌握分数乘分数的计算方法，并能正确地进行计算。
重难点、关键：
1、重难点：分数乘分数的计算方法。
2、关键：理解一个数乘分数就是求一个数的几分之几是多少。
教学准备：实物投影或者电脑课件。
教学过程：
一、创设情境引入新课
教师谈话，以学校粉刷教室或家庭装修新房等学生身边的实例引入。
出示粉刷墙壁的画面，给出条件：每小时粉刷这面墙的1/5。
师：能提出什么问题？
学生提问题，教师板书。
以分数乘整数的问题作研究内容，如“4小时可以粉刷这面墙的几分之几？”
师：怎样列式？（板书1/5×4）
师：列式的依据是什么？为什么用乘法？（工作效率×工作时间=工作总量）
让学生计算，并说说怎样计算。
师：我们解决了4小时粉刷多少的问题，那么1/4小时可以粉刷这面墙的几分之几？（出示问题）怎样列式？依据是什么？
学生讨论汇报。（根据“4小时可以粉刷这面墙的几分之几”的列式类推出，或根据工作效率×工作时间=工作总量，可以列出1/5×1/4）。板书算式。
师：（结合板书讲解）我们已经知道求4小时粉刷这面墙的几分之几，就是求4个1/5是多少。求1/4小时粉刷这面墙的几分之几，就是求1/5的1/4是多少。那么1/5×1/4如何计算呢？这就是我们今天学习的内容。
板书课题：分数乘分数
二、操作探究计算算理
1师：下面我们来探讨分数乘分数怎样计算。我们每人准备了一张纸，把它看作这面墙，先在纸上涂出1小时粉刷的面积，应该涂出这张纸的几分之几？
学生操作。
学生交流是怎样涂的？（用折或量、分的方法把纸平均分成5份，涂出其中的1份，如下图）
师：我们已经知道，求1/4小时粉刷这面墙的几分之几，就是求1/5的1/4是多少。再涂出1/5的1/4，小组→←讨论一下，应该怎样涂？
小组汇报（把涂出的1/5部分再平均分成4份，涂出其中的1份）。
学生自己涂色。
师：从涂色的结果看，1/5的1/4占这张纸的几分之几？1/20
师：我们可以得到1/5×1/4=1/20。根据涂色的过程，你能说说是怎样得到的吗？
学生讨论交流汇报。
教师归纳（用多媒体或投影片演示涂色过程）：我们先把这张纸平均分成5份，1份是这张纸的1/5，又把这1/5平均分成4份，也就是把这张纸平均分成了5×4=20份，1份是这张纸的1/20。由此可以得到（板书）。
1. 回顾整数除法的含义。
（1）幼儿园的马老师把6块小点心，平均分给3个小朋友，每个小朋友得到多少块？
（2）提问：你是怎么得到的？
预设：6÷3＝2（块）
2. 回顾分数的意义
（一）借助问题解决完成分数意义的深化
1. 把3块月饼，平均分给4个人，每人分得多少块？
2. 要求：请你用手中的学具剪一剪、摆一摆，也可以在本上写一写、画一画。表示出平均每人分得多少块？
3. 汇报：一边摆一边说自己是怎么得到每人分的块数的。
（二）巩固用分数表示商
请小组内交流想法
① 把这桶饼干平均放在5个保鲜盒中，平均每个保鲜盒放多少kg？
② 马腾从家到学校走了15分钟，他平均每分钟走多少km？
1. 提问：观察这几个除法算式，你认为除法与分数有怎样的关系？
2. 提问：如果用a表示被除数，用b表示除数，这个关系式可以怎样写？
3. 提问： a、b可以是任何数，对吗？
4. 小结：在除法中，0不能做除数，分数中的分母，相当于除法中的除数，所以分母不能是0。
1. 教材第50页，“做一做”。
在下面括号里填上适当的数。
2. 教材第51页练习十二，第1题。
这些葡萄干平均装在2个袋子里，每袋重多少千克？
平均装在3个袋子中呢？
教学目的：
使学生通过复习和分数乘法的计算、解答分数乘法应用题以及求倒数，培养学生综合运用知识的能力，发展学生的思维。.
教学过程：
一、基训
A、1、填》、《、=A》B》0
4/5A/BA/B
4/5B/AB/A
A/54/B4/5
2、一个真分数乘以一个假分数，结果大于真分数，对吗？
3、A、B互为倒数，那么1/A、1/B也互为倒数，对吗？
B、 1.分数乘以整数的意义是什么？
2.一个数乘以分数的意义是什么？一个数乘以分数的计算法则是什么？
3.计算带分数的乘法应注意些什么？
4.分数乘法的简便运算可以应用哪些运算定律？
5.解答分数乘法应用题的关键是什么？
6.倒数的意义是什么？
学生回答这些问题时，只要意思说得正确就可以了。有些问题还可以问一些与之相
关的问题，如运算定律的表达式以及字母可以表示什么数等等。
二、综合练习
1.找1。
甲是乙的35 。乙是甲的35 。
甲比乙的35多1。乙比甲的35少1。
甲的35和乙同样多。
学生独立判断，集体订正。让学生说说是怎样判断的。教师可再补充几题：
2.做口算练习。
3.求下面各数的倒数。
2/7 1/9 6 20 0.6
学生独立解答，教师巡视，发现问题及时纠正。
4.小红体重42千克，小云体重40千克，小明的体重是小红和小云体重和的1/2，三人共重多少？
5.已知a4/3=11/12b=3/3c，a、b、c都不是0，谁大？
三、小结
(略)
四、补充作业。
略。
教具、学具准备
1. 根据例题制作的挂图、投影片或多媒体课件。
2. 每个学生准备一张长15 cm、宽10 cm的长方形纸。
教学过程
一、创设情境引入新课
教师谈话，以学校粉刷教室或家庭装修新房等学生身边的实例引入。
出示粉刷墙壁的画面，给出条件：每小时粉刷这面墙的1/5。
师：能提出什么问题？
学生提问题，教师板书。
以分数乘整数的问题作研究内容，如“4小时可以粉刷这面墙的几分之几？”
师：怎样列式？（板书1/5×4）
师：列式的依据是什么？为什么用乘法？（工作效率×工作时间=工作总量）
让学生计算，并说说怎样计算。
师：我们解决了4小时粉刷多少的问题，那么1/4小时可以粉刷这面墙的几分之几？（出示问题）怎样列式？依据是什么？
学生讨论汇报。（根据“4小时可以粉刷这面墙的几分之几”的列式类推出，或根据工作效率×工作时间=工作总量，可以列出1/5×1/4）。板书算式。
师：（结合板书讲解）我们已经知道求4小时粉刷这面墙的几分之几，就是求4个1/5是多少。求1/4小时粉刷这面墙的几分之几，就是求1/5的1/4是多少。那么1/5×1/4如何计算呢？这就是我们今天学习的内容。
板书课题：分数乘分数
二、操作探究计算算理
1?笔Γ合旅嫖颐抢刺教址质？乘分数怎样计算。我们每人准备了一张纸，把它看作这面墙，先在纸上涂出1小时粉刷的面积，应该涂出这张纸的几分之几？
学生操作。
学生交流是怎样涂的？（用折或量、分的方法把纸平均分成5份，涂出其中的1份，如下图）
师：我们已经知道，求1/4小时粉刷这面墙的几分之几，就是求1/5的1/4是多少。再涂出1/5的1/4，小组讨论一下，应该怎样涂？
小组汇报（把涂出的1/5部分再平均分成4份，涂出其中的1份）。
学生自己涂色。
师：从涂色的结果看，1/5的1/4占这张纸的几分之几？1/20
师：我们可以得到1/5×1/4=1/20。根据涂色的过程，你能说说是怎样得到的吗？
学生讨论交流汇报。
教师归纳（用多媒体或投影片演示涂色过程）：我们先把这张纸平均分成5份，1份是这张纸的1/5，又把这1/5平均分成4份，也就是把这张纸平均分成了5×4=20份，1份是这张纸的1/20。由此可以得到（板书）。
三、迁移延伸，归纳法则
提出问题：3/4小时粉刷这面墙的几分之几？
师：“3/4小时粉刷这面墙的几分之几？”是求什么？（1/5的3/4是多少？）
小组讨论并操作：怎样列式？涂色表示15的34。怎样计算？
交流计算方法和思路：与前面一样，也是把这张纸分成5×4份，不同的是取其中的3份，可以得到（板书）
根据板书的两个计算算式讨论归纳计算方法。
通过学生讨论交流得到：分数乘分数，用分子乘分子，分母乘分母。
四、反馈提高，巩固计算
出示例4，读题。
师：怎样列式？依据什么列式？
由学生讨论得到：根据“速度×时间=路程”，列出3/10×2/3。
让学生独立计算。通过请学生在黑板演算或用投影展示学生的演算过程及结果交流计算情况，强调能约分的要先约分再乘，这样可以使计算简便。并结合学生的演算情况说明约分的书写格式。
课堂总结：今天我们学习了什么？分数乘分数怎样计算？
学生独立完成“做一做”。
教学目标
1. 通过操作活动使学生理解分数乘分数的算理，从而掌握计算方法。
2. 发展学生的观察推理能力。
教学内容：
分数乘法
教学目标：
1、能力目标：能根据解决问题的需要，探究有关的数学信息，发展初步的分数乘法的能力。
2、知识目标：学习分数乘以分数的计算方法，学生能够熟练准确的计算出一个分数乘以另一个分数的结果。
3、情感目标：使学生感受到分数乘法与生活的密切联系，培养学习数学的良好兴趣。
重点难点：
学生能够熟练的计算出分数乘以分数的结果。
教学方法：
师生共同归纳和推理
教学准备：
教学参考书、教科书
教学过程：
一、复习导入
教师出示教学板书，请学生计算下列分数乘法运算题。
教师：来回巡视学生的做题情况，并提问学生说说自己如何计算的？
学生寻找完毕，纷纷举手准备回答问题。
教师提问学生回答问题。（分数乘以分数，分子相乘，分母相乘，能约分的要约分。）
二、课堂练习
学生做第一题折一折，涂一涂。让学生用折纸的方式再次验证分数乘以分数的运算法则，注意让学生体会分数的几分之几是多少？
学生做第2题，注意让学生体验分数相乘的积于每一个乘数的关系。
学生做第3题，让学生理解分数的几分之几与占整体1之间的关系。
学生做第4题，让学生能够学会比较 的 和 占整体1的大小。
学生做第5题，教师注意让学生整体的几分之几是多少？
学生做第6题，让学生注意区分不同标准的几分之几是多少；占整体的几分之几。
学生做第7题，教师注意让学生利用分数乘法学会解决生活中实际问题。
第8题，学生根据学过的分数乘法知识，分辨一下唐僧分西瓜是否公平。
三、课堂小结
同学们，这一节课你学到了哪些知识？（提问学生回答）
课时1：分数乘法应用题
教学内容：教科书第69页例1，“做一做”及练习十四第1~5题。
教学目的：使学生初步掌握求一个数的几分之几是多少的乘法应用题的解答方法。
教学重点：通过线段图理解分析分数一步乘法应用题的数量关，建立求一个数的几分之几是多少，用乘法计算的解题思路。
教学过程：
一、复习
1.口算下列各题，并选其中两题说一说算式的意义。
×2 ×3 25× ×39 40×
× × × × ×
2.根据意义，列出算式。
4个 20个 70个
4的 20的 70的
二、新授
揭示课题并板书：分数乘法应用题
1.出示准备题。
20的 是多少？6的 是多少？
学生回答后小结。
2.出示例1。
学校买来100千克的白菜，吃了 ，吃了多少千克？
（1）教师边指导学生读题边画线段图。图略。
（2）提问：已知条件是什么？所求问题是什么？（在线段图上指出来。）
吃了谁的 ？
吃了100千克的 ，就是把100千克平均分成几份？吃了其中的几份？
（3）根据学生回答列式。板书：解法一：100÷5×4=80（千克）
（4）教师小结，并引入第二种解法。
上面这个解法是根据已学过的整数乘除法来解答的。我们还可以根据分数乘法的意义直接用分数乘法来解答。板书：解法二：
（5）提问。
吃了 ，是吃了谁的 ？
应该把那个数量看作单位“1”？
要求吃了100千克的 是多少，该怎样计算？根据什么列出乘法算式？
（6）列式解答：解法二100× =80（千克）
答：吃了80千克。
3.教师小结。
上题“吃了 ”是指吃了100千克的 ，把100千克看作单位“1”，要求100的 是多少？根据一个数乘以分数的意义来列式解答。以后我们遇到这类乘法应用题时就应该用解法二，即根据分数乘法的意义来列式解答。
三、复习巩固
完成第69页“做一做”中的题目。练习题后再让学生试着讲一讲，把哪个数量看作单位“1”，根据什么列式解答。求一个数的几分之几是多少，用什么方法计算。
四、全课总结
今天这节课，我们学习了分数乘法应用题。要注意认真读题，弄清题意，看谁把什么数量看作单位“1”，然后根据分数乘法的意义，来解分数乘法应用题。
五、作业
练习十四第1~5题。
课时2：巩固练习
教学目的和重点：会根据题意作出线段图，正确解题
教学过程：
1. 复习 (作出线段图列式计算)
（1）320亩的 是多少亩？ （2）40吨油的 是多少吨？
2. 补充 相关例题。 (2~3应用题)
理解题意确定单位1，作出线段图。
列式计算。
3. 小结
4. 作业 p71~72 / 6~10 补充相关题目。
课时3：求一个数的几分之几是多少的带分数应用题
教学内容：第70页例2，“做一做”及练习十四第11~16题。
教学目的：能准确地确定单位“1”，根据分数乘法的意义，理顺思路，列式计算。
教学重点：通过线段图理解分析分数一步乘法应用题的数量关，建立求一个数的几分之几是多少，用乘法计算的解题思路。
教学过程：
1. 复习。 的 是多少？ 的 倍是多少？
五年级有学生18人，参加数学竞赛的占全年级学生数的1/3，参加数学竞赛的有多少人？
2. 新授 例2、小林身高1（3/5）米，小强身高是小林的7/8，小强身高多少米？
1）让学生读题
2）利用线段图示帮助理解题意
想：小强身高是小林的7/8，就要把小林的身高看作单位“1”。要求1（3/5）的7/8是多少，根据分数乘法的意义，也用乘法计算。
1（3/5）×7/8=7/5=1（2/5）（米）
答：小强身高1（2/5）米。
想一想：如果把上题改成下面的题：
小强身高1（2/5）米，小林身高是小强的1（1/7）倍，小林身高多少米？
1）让学生读题
2）利用线段图示帮助理解题意
想：小林身高是小强的1（1/7）倍，就要把小强的身高看作单位“1”。
1（2/5）×1（1/7）=7/5×8/7=8/5=1（3/5）（米）
答：小林身高1（3/5）米。
3. 练习 p71 做一做 并补充相关练习。
4. 小结
5. 作业 p72 / 11~16 (分析15,16)
课时4：混合练习
教学目的：牢固确立，求一个数的几分之几是多少用乘法计算的解题思路，比较熟练地借助线段图来分析应用题数量关系。
教学过程：
1. 分析作业中存在的问题，并予以解决。
2. 补充相关应用题 (2~3道)。
读题 讨论 作图 解题。
3. 分析讲解 p73~74/ 18、20、21
4. 小结
5. 作业 p73~74/17~22.
（17注意：单位“1”是去年种的花生数。
18注意：单位 “1”都是180千克。
19注意：单位“1”是排球的定价。
20第一小题的单位“1”是计划耕地。
第二小题是减法。
21注意：单位“1”是小汽车的1/10。
22注意：他们的单位“1”都是小雄的9（1/5）分。）
一、梳理知识
1、怎样计算分数乘法
2、怎样的两个数互为倒数？怎样求一个数的倒数？
3、举例说说你能解决哪些用分数乘法计算的实际问题。
二、基础练习
1、写出下面各题的数量关系式
（1）绿花的朵数是黄花的 。
（2）黄花的朵数比绿花多。
（3）一件上衣降价出售。
（4）实际比计划增产。
2、计算
21×= ×26= ×= ×15×=
3、计算下面各题，再观察每组题目和结果，你有什么发现？
4、 ×16 ○16× 13 ○×13 ×○ ×○×
5、 米=（ )厘米 吨=( ）千克
时=（ )分 平方米=( ）平方分米
6、 ×（ )=（ ）×0.5=（ ）×6=( ）×=1
三、应用练习
1、(1)黄花有50朵，红花是黄花的，红花有多少朵？
（2）黄花有50朵，红花比黄花多，红花比黄花多多少朵？
（3）黄花有50朵，红花比黄花多，红花有多少朵？
2、(1)食堂有吨煤，用去一部分后还剩。还剩多少吨？
（2）食堂有吨煤，用去吨。还剩多少吨？
（3）食堂有吨煤，用去。还剩多少吨？
（4）食堂有吨煤，用去。还剩几分之几？
3、一辆卡车1千米耗油升，照这样计算，行千米耗油多少升？50千米呢？
4、一件毛衣原来销售56元，现降低销售，降价多少元？现价是多少元？
5、小军家有5口人，早上每人喝一瓶升的牛奶，一共喝了多少升？每升牛奶大约含钙克，一瓶牛奶含钙多少克？
6、六年级一班有48名同学，二班的人数是一班的，三班的人数是二班的，六年级三班有多少人？
教具、学具准备
1、 根据例题制作的挂图、投影片或多媒体课件。
2、 每个学生准备一张长15 cm、宽10 cm的长方形纸。
教学过程
一、创设情境引入新课
教师谈话，以学校粉刷教室或家庭装修新房等学生身边的实例引入。
出示粉刷墙壁的画面，给出条件：每小时粉刷这面墙的1/5。
师：能提出什么问题？
学生提问题，教师板书。
以分数乘整数的问题作研究内容，如“4小时可以粉刷这面墙的几分之几？”
师：怎样列式？（板书1/5×4）
师：列式的依据是什么？为什么用乘法？（工作效率×工作时间=工作总量）
让学生计算，并说说怎样计算。
师：我们解决了4小时粉刷多少的。问题，那么1/4小时可以粉刷这面墙的几分之几？（出示问题）怎样列式？依据是什么？
学生讨论汇报。（根据“4小时可以粉刷这面墙的几分之几”的列式类推出，或根据工作效率×工作时间=工作总量，可以列出1/5×1/4）。板书算式。
师：（结合板书讲解）我们已经知道求4小时粉刷这面墙的几分之几，就是求4个1/5是多少。求1/4小时粉刷这面墙的几分之几，就是求1/5的1/4是多少。那么1/5×1/4如何计算呢？这就是我们今天学习的内容。
板书课题：分数乘分数
二、操作探究计算算理
1?笔合旅嫖颐抢刺教址质？乘分数怎样计算。我们每人准备了一张纸，把它看作这面墙，先在纸上涂出1小时粉刷的面积，应该涂出这张纸的几分之几？
学生操作。
学生交流是怎样涂的？（用折或量、分的方法把纸平均分成5份，涂出其中的1份，如下图）
师：我们已经知道，求1/4小时粉刷这面墙的几分之几，就是求1/5的1/4是多少。再涂出1/5的1/4，小组讨论一下，应该怎样涂？
小组汇报（把涂出的1/5部分再平均分成4份，涂出其中的1份）。
学生自己涂色。
师：从涂色的结果看，1/5的1/4占这张纸的几分之几？1/20
师：我们可以得到1/5×1/4=1/20。根据涂色的过程，你能说说是怎样得到的吗？
学生讨论交流汇报。
教师归纳（用多媒体或投影片演示涂色过程）：我们先把这张纸平均分成5份，1份是这张纸的1/5，又把这1/5平均分成4份，也就是把这张纸平均分成了5×4=20份，1份是这张纸的1/20。由此可以得到（板书）。
三、迁移延伸，归纳法则
提出问题：3/4小时粉刷这面墙的几分之几？
师：“3/4小时粉刷这面墙的几分之几？”是求什么？（1/5的3/4是多少？）
小组讨论并操作：怎样列式？涂色表示15的34。怎样计算？
交流计算方法和思路：与前面一样，也是把这张纸分成5×4份，不同的是取其中的3份，可以得到（板书）
根据板书的两个计算算式讨论归纳计算方法。
通过学生讨论交流得到：分数乘分数，用分子乘分子，分母乘分母。
四、反馈提高，巩固计算
出示例4，读题。
师：怎样列式？依据什么列式？
由学生讨论得到：根据“速度×时间=路程”，列出3/10×2/3。
让学生独立计算。通过请学生在黑板演算或用投影展示学生的演算过程及结果交流计算情况，强调能约分的要先约分再乘，这样可以使计算简便。并结合学生的演算情况说明约分的书写格式。
课堂总结：今天我们学习了什么？分数乘分数怎样计算？
学生独立完成“做一做”。
教学目标
1、 通过操作活动使学生理解分数乘分数的算理，从而掌握计算方法。
2、 发展学生的观察推理能力。
本节课《分数乘分数》是人教版六年级数学第二单元的内容，重点是巩固和进化理解分数乘法的意义，探索分数乘分数的计算法则。
在教学实践中我继续采用“数形结合”的数学方法，帮助学生达成以上的两个数学目标。对于课堂中的“探究活动”没有直接放手，这是因为学生对“求一个数的几分之几是多少”的分数乘法意义的理解还不够深刻，因此在整个得教学过程分为三个层次：
(1)、引导学生通过用图形表示算式，再用算式表示图形，深化“求一个数的几分之几是多少”的分数乘法意义，感知分数乘分数的计算过程。
(2)、以3/4×1/4为例，让学生先解释算式的意义，然后用图形表示这个意义，最后在根据图形表示出算式的计算过程，这样做的目的是通过“以形论数”和“以数表形”的过程是学生巩固分数乘法的意义，体会分数乘分数的计算过程。
(3)、学生运用数形结合的方法独立完成教材中的试一试，进一步达成以上目标，并为总结分数乘分数的计算方法积累认知。整体教学的效果很好。
由于学生有比较坚实的整数乘法意义的基础，所以对于探索分数乘整数的意义和计算法则的探索完全可以让学生独立进行。而在分数乘分数计算过程的探索中，由于学生刚刚认识“求一个数的几分之几是多少”的分数乘法意义，并且用图形表征分数乘分数的计算过程比较复杂，因此采用“扶一扶，放一放”的策略就比较好。
学生在计算分数乘分数时能根据计算法则进行计算，但对于计算过程的约分，部分学生的约分意识不强，如3的倍数，7的倍数，甚至更大质数的倍数，学生不知道约分，使结果不是最简，还要加强训练。