流体力学试卷2
一、名词解释
1雷诺数 2、流线 3、压力体 4、牛顿流体 5、欧拉法 6、拉格朗日法 7、恒定流动 8、流场 9、无旋流动 10、稳定流动 11、不可压缩流体 12、流场 13、无旋流动 14、有旋流动 15、驻点 16控制体 17理想流体
二、简答题
1、流体静压强的特性是什么？
2、尼古拉兹实验分区级意义是什么？ 3、运动粘滞系数r的物理意义是什么？
4、流体动力粘滞系数u的物理意义是什么？ 5、伯努利方程z?
pr?u
2
2g
?
常数中各项的物理意义？
6、简要说明管道流动局部阻力损失产生的机理。
7、下式不可压缩流体N-S方程中，各项的物理意义是什么？ X
8、什么是流体的连续介质模型？它在流体力学中有何作用？
?1?p
??（
?ux?x
22
??x
?
?uy?y
2
2
?
?uz?z
2
2
）?
dudt
x
三、计算题
1、如图所示，一油缸及其中滑动栓塞，尺寸D=120.2mm，d=119.8mm，L=160mm，间隙内充满μ=0.065Pa・S的润滑油，若施加活塞以F=10N的拉力，试问活塞匀速运动时的速度是多少？（10分）
2、如图所示一盛水容器，已知平壁AB=CD=2.5m，BC及AD为半个圆柱体，半径R=1m，自由表面处压强为一个大气压，高度H=3m，试分别计算作用在单位长度上AB面、BC面和CD面所受到的静水总压力。
3、原型流动中油的运动粘性系数υp=15×10-5m2/s，其几何尺度为模型的5倍，如确定佛汝德数和雷诺数作为决定性相似准数，试问模型中流体运动粘性系数υm=？
4、如图所示，变直径圆管在水平面内以α=30。弯曲，直径分别为d1=0.2m，d2=0.15m，过水流量若为Q=0.1m3/s，P1=1000N/m2时，不计损失的情况下，求水流对圆管的作用
力及作用力的位置。（20分）
5、两水池的水位差H=6m，用一组管道连接，管道的第一段BC长L1=3000m，直径d1=600mm，C点后分为两根长L2=L3=3000m，直径d2=d3=300mm的并联管，各在D点及E点进入下水池。设管道的沿程阻力系数λ=0.04，求总流量Q=？（20分）
1、有一钢板制风管，断面尺寸为
400mm?200mm，管内气流平均速度为1.5m
/s，气体运动粘滞系数为
15.0×10?8m2/s，判断管内气体的流态？
2、一高压管末端接喷嘴，如下图所示，已知喷嘴出口直径为10cm，管道直径为
40cm，水在管中流量Q为0.4m3/s，求管嘴对水流的`作用力。
3、已知不可压缩流体的流速分量为：ux?x2-y2，uy??2xy，uz?0，问该流
动是否为无旋流动？
4、已知平面流动的速度分量为：ux?x?t2，uy??y?t2；求：当t=1是过M（1,1）的流线方程。
5、一车间用直径为0.5m的风口送风，风口风速为6.0m/s，如长度比例常数
为4，确定实验模型风口风速。若在模型内测得某点气流速度为3.0m/s，则车间相应点的速度为多少？（已知空气的运动粘滞系数为
0.0000157m
2
/s）
lmln
?116
6、对某一桥墩采用模型比例为
0.76m
进行实验。已知模型中水流速度为
/s，实测模型桥墩受水流作用力为4N。求原型中相应的流速与作用
力。
7、在水平放置的管线中接弯管，直径从600mm逐渐减小到300mm，水流方
向偏转600如图所示，在直径较大一端压强为172kN/m2,求作用于弯管上的力的大小和方向，①当水不流动时；②当通过的流量为876L/s时；
8、一弧形闸门AB，宽4m，圆心角为求
作
用
于
闸
45，半径为
2m，闸门转轴恰好与水面平齐，
门的水静压力。
9、如下图所示，一水箱侧面开孔并接有一直径为50mm的短管，形成管嘴出流，已知作用水头H=5m，管嘴出流流量系数u=0.82，试问：①管嘴出流流量Q；②靠近水箱一侧管嘴内壁形成真空的原因是什么？③合适的管嘴长度是多少？
0、如图所示，一水平射流冲击光滑平板，流量为Q0,密度？，直径为d0，求：①平
板所受的冲击力。②流量Q1和Q2
11、如下图所示：水箱侧壁接出一根由两段不同管径所组成的管道，已知
d1?200mm，d2?100mm，两管短长均为L=50m，
H?10m，沿程阻力系数
??0.01,?A?0.3,?B?0.2,求：管道中水的流量、流速。
1、一根直径为d
1 = 0.1m的水管垂直放置，在上方转90°弯后立即收缩成直径
为d 2 = 0.05m喷口，水从此喷入大气中。设喷口水流速度为v2 =20m/s，忽略一切损失，试计算低于喷口h = 4 m处水管截面上的压强p1。
p1
v1d1?v2d2
v1?0.1?20?0.05v1?10m/s
?
?z1??
v1
2
2g10
?
2
p2
?
?z2?
v2
2
2g20
2
p19807
2?9.807
5
?4?
2?9.087
p1?3.78?10Pa
22、图示为一连接于压力容器的带法兰的收缩出流管嘴。设容器内压力表读数为 p = 106Pa，H = 3m，管嘴大小口直径 D = 5cm，d = 1cm。试求管嘴上螺钉群所受到的总拉力 F。
v1D?v2d
连续性方程v1?5?v2?1
v2?5v1
p1?p??H
静力学基本方程p1?106?9807?3
?10.3?10
p1
?v1
2
5
?
伯努利方程
2g
?
5
v2
2
2g?
v1
2
10.3?109807
2?9.807
?
25v1
2
2?9.807
v1?9.26m/s
动量方程qV?
14
?Dv1?
2
14
??(5?10
?2
)?9.26?1.82?10
2?2
m/s
3
?qV(v2?v1)?
5
?F
14
?p1A1?F
?4
F?10.3?10?F?1346.9N
??25?10?1000?1.82?10
?2
?4?9.26
3、一贮水箱通过一直径为d的底部小孔排水，设排放时间t与液面高度h，重
力加速度g，流体密度ρ，粘度μ等参数有关，试用量纲分析法 （1）取h, g,ρ为基本量，求包含时间的无量纲量Π1 ； （2） 取d, g,ρ为基本量，求包含粘度的无量纲量Π2 。 解：f(d,t,h,g,?,?)?0
n=6
(1)取h, g,ρ为基本量
?1?hg?t
MTL?L(LT
a1
?2
a1b1c1
)(ML
b1
?3
)T
c1
0?c1
0??2b1?1b1?
12
0?a1?b1?3c1a1??1/2
gh
?1?
t
（2）取d, g,ρ为基本量
?2?d
0a20
g
b2
??
a2
?2
c2
MTL?L(LT)(ML
b2
?3
)MLT
c2
?1?1
0?c2?1c2??1 0??2b2?1b2??1/2 0?a2?b2?3c2?1a2??3/2
?2?d?2?
?3/2
g
?1/2
?
?1
?
??d
3/2
g
5、如图所示的抛物线闸门，宽度为b，铰接在B点上，建立如下坐标系后，抛物线闸门断面的方程为y=H-4x2。
1.求流体作用在闸门上总压力的水平分力Fx大小；（4分） 2.求流体作用在闸门上总压力水平分力Fx的作用中心hD；（4分）
3.求流体作用在闸门上总压力的竖直分力Fz大小；（4分） 4.求流体作用在闸门上总压力竖直分力Fz作用中心xD；（4分） 5.维持闸门平衡所需的F。（4分）
解：抛物线方程
y?H?4x
2
（1）水平分力的大小Fx??hcAx??
H2
Hb?
?Hb2
2
3
1
（2）水平分力压力中心hD?hc?
JchcAx
?
H
?12
H2
2
?b?H
?
?H?b
2H3
（3）垂直分力的大小Fy??Vp??Ab?（4）抛物面面积 A?
H/2
?bH
3
H?4x
2
H
??dxdy
D
?
?
dx?
dy?H
H/3
抛物面形心x?
1
??A
D
xd??
H3H3
H
3
H
?
H/2
xdx
?
H?4x
2
dy?
H
3
H
48H
4
y?
1A
??
D
yd??
H
?
H/2
dx?
4
H?4x
2
ydy?
45
H
竖直分力必然经过形心（（5）合力？F?
2
H
48
2
，
H
45
9H
2
），xD?
?4H
H
3
48
Fx?Fy?
?Hb
6
FH?Fx(H?hD)?FyxD
维持闸门平衡的力
F?
?bH(24?H)
144
22
合力与y轴夹角tg??
FxFy
?
32
H
sin??
Fx
?F
?
如图所示矩形敞口盛水车，长2L(m)，高h=2L (m)，静止时水深h1=L (m)。重力加速度为g(m/s2)。求水刚好不溢出时，盛水车的加速度a的大小。（5分）
解：自由面方程为：ax+gzs=0, 水刚好不溢出时， zs(x=-L)=h-h1，因此，-a(-L)/g=2L-L，即a=g。
五、如下左图所示，水由水箱1经圆滑无阻力的孔口水平射出冲击到以平板上，平板封盖着另一水箱2的孔口，水箱1中水位高为h1，水箱2中水位高为h2，两孔口中心重合，且d1=d2/2，当h1已知时，求h2高度。（10分）
六、如上右图所示断面突然缩小管道，已知两段面的直径分别为d1(mm)，d2(mm)，且d1=2d2=2d，流量为Q（l/s），水银比压计读数h（mmHg），水与水银的密度分别为ρ1、ρ2，求从1-1断面流经2-2断面的能量损失hw。(10分)
如图所示为用于测试新阀门压强降的设备。水从一容器通过锐边入口进入管系，局部损失系数为0.5，钢管的内径均为d(m)，水在钢管内流动的沿程损失系数为λ，用水泵保持稳定的流量Q(m3/s)，水与水银的密度分别为ρ1、ρ2，若在给定流量下水银差压计的示数为H(mm)。
1.计算水通过阀门的局部损失系数；（4分） 2.计算阀门前水的计示压强。（6分）
水银
流体力学教学实践探讨论文
[论文摘要]论文结合教学实践，提出了以传统教学模式为主、以现代化教学手段为辅的教学方法。结合实例讲清楚基本概念，够用为度重点突出理论公式的应用是常规教学应遵循的模式，并与多媒体辅助教学手段有机地结合起来，力求课堂教学的形式和方法多样化，既能保证课堂信息量大，又能避免单纯多媒体授课的不足，达到提高教学效果、提升教学质量的目的。
[论文关键词]流体力学 教学实践 传统教学 多媒体技术 教学质量
一、前言
《流体力学》是研究流体所遵循的宏观运动规律以及流体和周围物体之间的相互作用规律的科学，它建立在现场观测、实验室模拟、经典理论分析、数值计算基础上，具有严谨的理论性、原理的抽象性、概念多、方程推导繁杂等特点，对学生具备高等数学知识及综合分析与处理问题能力的要求较高，因而大部分学生觉得该课程抽象、枯燥、难懂，普遍缺乏对流体力学理论的感性认识，都有某种程度的畏惧感，导致教师难教、学生难懂成为较普遍的现象。
我校机械设计制造及自动化、过程装备与控制工程、土木工程、安全工程、采矿工程、环境工程、矿物加工工程、建筑环境与设备工程、工程力学等专业的学生都须具备不同程度的流体力学知识和技能，它是各专业后续课程如：液压传动、水力学、流体机械、空气调节、传热学等课程的基础。
为此，作者通过教学实践，就多样化的教学方法、更新的教学内容、引入高科技的教学手段等方面进行探讨，以期提高《流体力学》的教学质量。
二、以传统课堂教学为主
《流体力学》的课程体系分为基本理论、基本应用和专门课题三大知识模块，它要求学生具备扎实的微积分知识、力学知识等。学生在接触流体力学课程伊始，对抽象的理论理解速度慢，对枯燥的公式及其推导过程容易厌烦，因而《流体力学》的教学应该以传统教学方法为主。因为在传统的课堂教学中，学生获取知识主要是听教师讲课，通过板书教师细致耐心地阐述概念、推导公式、突出重点、强调难点，以学生容易接受的讲课速度，留给学生更多的思考和消化的时间，再配合上教师的表情、手势、师生之间的互动，会达到很好的教学效果。
(一)结合实例，讲清楚基本概念
流体力学的概念多、现象多，且很多概念和现象比较抽象，难以理解，诸如：拉格朗日法、欧拉法、流线、迹线、边界层等。因而利用身边的实例对这些抽象的概念进行讲解，例如在讲授描述流体运动的两种方法——拉格朗日法和欧拉法时，学生们很难理解。为了将概念通俗化，上课时笔者以城市公共交通部门统计客运量所采用两种方法为例：①在每一辆公交车上安排记录员，记录每辆车在不同时刻（站点）上下车人数，此法类似于拉格朗日法的质点跟踪，它与迹线的定义对应；②在每一公交站点安排记录员，记录不同时刻经过该站点车辆的上下车人数，此法等同于欧拉法，与流线的定义对应。
在讲解伯努利方程原理的时候，例举19“豪克”号铁甲巡洋舰与同行疾驶“奥林匹克”号远洋轮相撞的船吸现象，让学生清楚掌握流体的压强与它的流速有关，流速越大，压强越小；反之亦然。
概念是公式推演的基石，没有准确的概念，后续的公式推演几乎难以为继，清晰的概念会使公式的讲解和推演变得更加简易。利用浅显易懂的生活实例来阐述抽象的概念及其之间的内部联系和区别，教师易教、学生易懂，将会达到事半功倍的效果。
（二）以用为度，重点突出理论公式的应用
伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的具体应用，是流体静力学和流体动力学的基础，始终贯穿着整篇教材。在讲解该理论公式的时候，先从容易理解的静力学平衡微分方程推导开始，强调公式所依据的原(）理是牛顿第二定律，假设条件是平衡、理想、静止的流体，重点引导学生如何理解公式各项的几何意义和物理含义，掌握公式的实际应用。这样学习到后面的动力学伯努利方程时，先易后难、循序渐进，学生就觉得不会那么深奥。在讲解相对平衡的流体压强分布规律时，就要求学生必须掌握推导过程，因为它在解决一般平衡流体内部的压强分布规律及其对固体壁面的作用力问题时非常重要。而对于连续性方程和动量方程的学习，只强调记住结论和理解公式中各个物理量的含义。这样做，有效地避免了大量公式繁琐的推导给学生带来的畏难情绪，也能够做到以用为度、重点突出。
不可否认，依靠粉笔与黑板的教学条件、以教师为主体的传统教学模式，教学形式单一，教学手段不先进，教学效率不高，适应不了课程教学学时少、受教育学生数增加的情况。
三、以现代化的教学手段为辅
当前以计算机多媒体技术为主的现代化教学手段已经普遍地应用于高校的教学中。制作教学用的视频、多媒体软件、电子课件等素材，作为课堂教学有力的辅助教学手段，可以在有限的时间内，利用图文并茂的信息传播方式，将课程内容及有关背景资料以影像、图片等形式，直观地传播给学习者，将流体力学中抽象的概念和理论具体化、形象化，激发学生学习兴趣，使得学生能够从感性认识开始，逐步上升到理性认识，进而能够达到运用知识解决问题的能力。
结合流体力学精品课程的建设，教学团队制作了流体力学多媒体电子教案，并在教学过程中不断完善，逐步取得了良好的。教学效果。在设计与制作多媒体课件时，遵循课堂教学的基本规律，既发挥传统板书教学中容易带动学生思路、逐条在黑板上书写的特点，在课件制作中根据讲解的进度逐条展现公式条目等内容，同时又将难以理解、难以用语言描述的拉格朗日法和欧拉法、流线、边界层和紊流等抽象概念和流动现象，以多媒体的方式在课堂上直观地呈现出来，帮助学生建立清晰的印象。教学团队收集、制作了大量的多媒体素材，例如在讲解雷诺判据的时候，制作了雷诺实验的FLIASH素材，以动画的形式向学生展示了流体流动的两种不同状态，以及流态判据—雷诺数与流动速度、管径、流体种类有关系。运用多媒体辅助手段表达后，能够帮助学生很好地理解课程的重、难点，提高教学效率。利用多媒体技术，还可以制作需占用大量时间板书和不易通过板书表述的内容，提高了教学效率。
多媒体教学的内容一定要做到提纲挈领、重点突出，有所为有所不为。多媒体技术没有好坏之分，只有合理使用与不当使用之别。但是实践应用中，发现有的教师完全抛弃以往的黑板式教学模式，离开多媒体手段就上不了课；有的教师将教材内容全部照搬到了课件中，自己就成了的幻灯片放映员，“照机宣科”；有的教师制作的多媒体课件过分追求课件的美观性，界面过于华丽，淡化了教学重点；也有的教师忽略学生对课件内容理解消化的时间，致使学生的思维跟不上教师讲解的速度，降低了教学效果。上述现象将会造成一种新形式的“满堂灌”，只不过是由“人灌”变成“机灌”而已。
四、总结
流体力学作为一门专业基础课程，其重要性不言而喻。传统教学模式能够将前后知识贯通，突出重点，化烦就简、引入实例形象阐述概念原理，促进知识的系统化进程；多媒体教学能将难于理解的知识通过图文、音像生动地显现出来，帮助学生理解性记忆。借助于先进的教学手段，将多媒体辅助教学手段与传统教学方法有机地结合起来，力求课堂教学的形式和方法多样化，既能保证课堂信息量大，又能避免单纯多媒体授课的不足，才能提高教学效果、提升教学质量。以上是笔者在流体力学教学实践中的体会，愿与同行共同切磋。
基金项目：安徽省教育厅《流体力学》精品课程
[参考文献]
[1]许贤良，王传礼，张军等．流体力学[M]．北京：国防工业出版社，．
[2]梅凤翔，周际平，水小平等．“工程力学”课程体系和教学内容的改革与实践[J].北京教育（高教版）,2005（10）:39-40．
[3]陈传尧。启发式教学与创造性思维的培养流体力学[J]．高等教育研究，（5）:62-64．
流体力学三大方程的推导
微分形式连续的性程方
续连程方是体流力学基的本程之方， 流体一动运的续连方，程反流体运动和映流体质 量分的关系，它是在质布守恒量律在定流 力体学的中应用
重。点讨不论表同现式形流的体连续方程。
用一个微六
面体控制体建元微分形式立的续连性程。方 设在流场中一固取不动的微平定六行面体（制体控，在直）角标坐系o xzy中， 六面的边体长取为x d，dy，dz。
看先x 轴方 向的流动流体，A从BC面 D入流面六，从E体FG面流出。H
在x 轴方向出流与入流质之差量
?( ?x u )? (ux?) [ ?u x? xd]ydzdd ? t u? dyxddzt? dx yddzd ?xt?
x
用样同的方法可得在，y方轴和向z方轴向流的出流入与质 量之分别为差
(? u?y ?)y
dx
ydzdd
t?( ?u
z) ddydzdtx z
这？，在样d t时间内通过面六体全的六个面净流出的部质量为
：? ?(ux) ? (u y? )(?? zu )[ ? ? ]dxdydzd t ?x?x ?x
在d t的时内间六面，内体质的量减了 ( 少？
?? xdddydt z ，) ?
t
根质量据守恒定律，流出六面体的净质量等必于六体内面减所的质量
少
?( u? x) ?( u? y )? (?u z) ?? ? [ ?]dxdyzdt d ?? ddyxdzd tx?? y?z ?
这t就直角坐是系标中体运动的流微形分的式连性方续。
?程( ? ux ?)( ? u )y? ( ?u z )?? ? ?? 0??x ? y?z ?
代t单位表时间内，单体位积内 量质净的出 代表流单时位内间单，体积位的 量变质
化这
是就角直坐标中系流体运动微的形式分的连续方性程。
在连续方中程
?
( u?x ) ? ( u?y ) ? ? u z( ?)?? ? ? ?0 ?x ? y? ?z
? ?t? ? di(v? ) ?u( ?ux ) (?? yu ) (? u? z) x ?y??z
利用
散公度： 得到式
?? ? di?(v? u ? )0 t?
用矢量场基利本算公运和式体随数公式导
：得到
? ??? d v iu u?? ? ? ?0 t
??D ? ?? div u ? 0 t
Ddiv(
u?) ? ? d vi u ? u???
? D? ? ? ?? ?u? ? t D?
讨t论
?
? ，0连方续程可简为化 ， ⑴对定常于流动 ，?t
??? d v i? ? v? ? ?t
0di
v ? ?v? 0?压或不
压可流体。
―微分―式
形
表明定常*动运时单位体，内流进流出积质的量等相适用。可
于？ ? D 0，连方续程可化为简 ⑵， 对不于压可缩体流，D t
idv ?v0
D?
?? div v? 0为因 tD
*表对明不压可流，体体积在随运动中体保不持。变用适定常于 不或定常流。体
微分式形的动运方
程
动运程方流是体动运最的本基运的动原学，即理找 流体出运动它受和到的作用之力间关系的数的学表 达式，依的理据原理是论顿牛运动定律或动量定理，的下面 用欧拉法利式形立建微形分的运式动程方
。
作用于体的力流
分析象：对 流体以界中面？ 围包的体为
积体的作流用力表 力
面
?
流体的块
质
量
力
质量
力量质（力力体：是指）作用所有流体于质点力。的
如
重、万有引力等力
（ 。 ）质1力量长是力：它随相程作互用的素之元间距的离 的增而加减，对小一般于体的特流征动距离运言而均，能 示出显。 来（2 ）它是一分布力，分布种于体流的块个整积内体流 ，块所受的体质力与其量围周有其无流体他存在无关系并 通。常情下，作用况流于的质量体通常力就指重力是
。
? 如果
F 示表单质量位的体的质量流，规定其力为 ：?F? ? Fli m?m ?0 ? ?m m?的 体块流的质上量力。 其 中？ ?F 是作用质在为 ?量 难看出，不 F以可看做的分布力密度。例
：如对于处力重用作的物体而言质，量力的布密分度 或者说单？位质的流体的质量量就力是重加速力 g度 。
表面 表力力面是指流：体内之间或者部流与其他体物体之 间的接面上所受到触的相作互用力 。如流体部内粘性应的和力力压流、与固体体触面接 上的摩擦力等 （。1 ）面力表一是种程力短源：分子于间的相作用互。面表力 随互作用元相之间素的离距增而迅速加弱减，有在只 相作用互素元间距离的分子与离距量同时，级面力表显才 现出来 （ 。2流体）块各内部之间的分面表力相是作用而相互抵消 的，互有只处界面于上的流体质所受的点由，界面外流体侧所 施加表的面存在力。 （ 3）面力表也一是分布力种，布分在相互触的接面上。
界
义定位单积面的上面表力：为
?
其中 ?p? 是用作某于个体面流积？上 的？表力
面？ p
?p ? li m? ?0??
?质
力量表和面的比力
较数
因而，构成一个矢量了场
。 矢量？F 是质量力 分布的度密它，是间和空间时点的
函量质力和面表有力着质本差别。的
? 而
矢量p 为流体的力应，矢它不但时是和空间点间 函数，的并在且间每空一还点着随受力面元取向不同而变的化 ? 。 所？要以定应力矢 p 确，须考虑必点的矢 径 、r该受点力 n? 元面的方（向或说者元的面向单法位矢） 以时间及 。t ? ? 切确地应说力是两矢个量（矢r n、） 一和标个量函数 t。
在运
流动体选中取小一面六体体， 元 其z长边别分为 ?：x ,?y ?z, 据牛顿第根定律二：
?
zd ?V? ?xy ?z =质力量+面表 力d
x
?y
tx?
y
为
了出流导体的动方运，首程来分先析体小元受力的情况。
方x质量向力析分x方向的
量力质
? F? mx? F x ?? x ?y? z
x 向表方力分析面周
流体围对体小元的个表六有面面表力的作用，通而六个 侧面过用作小于体沿元 x方
向的面表力别为：分
x?
?
xy??
p?zxx
? xp?xyz?
p
x
xp?x x? ? p ?? ??y?x zx 前后x侧面： ?? ?x?
? xp ?x?y?z x小体所元的受方向的表x力面= 前侧后面之和：? x
?
py x?? 左右侧： ?面？ p y x? ? y y?? ?? ?z ?x ?
p
?yx x??z
p?xz ?? z? ??x?y 下上面侧： ?p x ?z?z ? ?
p ?z?x?x
y
此因，围流周体通六个侧面过用作于小体沿元x向的 方表面力力合：为
? ?px x?p xy?p zx? ? ? ?x ?y?? ? z ??x???yz? ?
x
方 合向力析
分据牛运动定顿：小体律元力等受于其质量加速与度的乘：
积？
?pxx p ?x y?zp x?d u ? ??xy?? ?z xF??x ??y ? z? ?? x???y ?z? d t ?y ?z ?? ?x方程可
简以化为
：du1 ? ? px x p y? x?zxp ? ? F?x? ? ? ? ?td? ? ? ?xy?z ?
?单位质量体流 在 x方的向动运程方
同理
可：得
vd1 ? p? yx? py y?p yz? ??F y?? ? ? ?dt? ? x? y ?? z??
位单量质流体 y在 向的运动方程方d
1w? ?pxz ?p yz ? zzp? ?? Fz ? ? ?? ?d ?t? x? ? ?zy ??
单质位量体流 z在方 向的动方程
运流
体运方程的动遍形式
普矢量
形式
??? ? ? ? ?p z pd 1 V?? p x ?F?y? ? ? ? dt ??? x? y z?
? ? ? ?
? ?
1 dV 者：或 F?? ? ?P dt ?
??? ? ? ?P? ? ?? ?x? y ? z ??
?
xp pxy pxzx ? ?? ? px ypyy py ? ?z? ?pzx zy ppzz
?
微分形的能量方程式
能
量恒守定律自然界的普是规遍，流律体运在过动程 1动能、程方 也是遵循该定律。 中、2流量方热 程立孤系（与统外没有界质量能量的交换）、流：体在运 动过可程以随着各伴形式的种能量之的间相转互换，但3、伯努 利方 总能量起不变的； 程是
孤非系立统：能量的变总化，于外等力包（质量括 力和系外部的表面统）对系力所统的做和所吸功的收量。热
统系能的量
对
于量，主能要指为种形式三内能、：动能重力势能。
单及质位的量能-内----e-：体流子分热运动而具有能量； 的位质单量动能-的-----v/2表示2单位 质量重力的势---能---gz-由：万有力引起与，位的置高有差关
；单
位质量的能量总（储能）存------e-s： 则体为？的流体积系统的量能E:
1
2 s ?ee ?v ? g z2
1
2 E? ? ?e sd ?? ? ?(e? v ?gz )d?? ? 2
力热第学定一
对理于一静个止热的力学系（统起始或和止状态终处静于的止系统：系 统）存能储的增加等于力对外系所统作的功与界外递传给统系的量热和之。
一个确
的流定体也可看作团一热个力系统学流体，
质点在总流中动设， 系该统偏离平态衡不远系：总能量的变化统率包（括能和内动）等于外力能系 对统的功作率功通与过热向系导统传的热功之和率。
于某对系统，单一时位对间统所系的功（作际上实就 是功）率 d用
td
W
表
，单位时间示给系统的热量加 Q用表，则示
系统
能 量E变的化率为 :
D E dW ?? Q t Dt
d系统的总在量能，中已考虑位单质量重力的能，则质势 力量作功率中功不将包括重力作功功率 。将热力第一定律应学于流体用运动把上式各项，用关的有流 物理体表示量出，即是来能量方程。
推导微分式形的。量方程能的思路：根据热学力第一律定系统能量 的，变率化等外力单于时位对系间所统的作功与通热传导向系过单位统时
间所的热量传之。和即 : 单位 间时系统量的能化变= 单位间时力对外统所系的作
+ 单功时间位界传递给系外统热的量
外力
对统系作的功=所质 力所量作的+表面力功所的功作外界
递传给系的统量热= 导热传+射热辐 下面有关用的流体物的量来表达上理各述项。
①
单时间系统位能的量化 方法 1
?变( ?u x ? ( ? ) yu ? ? zu) ? ? ??? ?0 x ??y z ??
t微
元系统能量的时间变化也分为两率部分，一部分是控体制内储存能 变的化，其单位时间变化的为率
?
(?e s ) d x d y dz ?t另一
分部为控制面迁移经能量的引起，的位时间经单全控制部面净出流的储存 能为
?
??? ?( ? e ) ?u ?(ve ) ? ( ?w e) s ss?d d yxd ? ?x zy ?z??
?
这
微样系统总元储的能的存时变间率化这为部分两和之
：
?D E ?? ? ? ?? (?? s e )? ?(us ) ? e( ?ves) ? ( ?w e s?)d x d y d zD t? ?t ?x? y? z ?? ??? ?? ( ?es ) ?iv( ?d es v)?d x d y z d ?t ??? ? ?? ?? ?( ?e s ) ?(v ?? ) ?e(s) ??sedivv ? d x d d zy? ?t ? ? ?D ?? ? (? s e ) ??sed iv ? d xv dy z d D? t? ? ??D ? Ds ? ?? ? es ? ?es eivdv ? d x d ydz D t ?t ?D ?? ? ?D esD? ?? ? es ? ?( dvi v )? dx y dd zDt ? D t ?De ?s d ?dxy z dDt
①单
位间系统能时量的化 方变 法 体2数 导 在：t 时 刻微六面元系体统的存能储 ?e
sd
xd y z ，d系统能其量的
随D
s De EDD ?( ?e sxdddzy ) ? ?ddyxzd? es ( d?dxdy )zDt D tDt D t Dse?? d xd dy z系统质量的随 体数 D导
t于由统系量的随体导数等质于。零
0es
D
( ? xdydz ) ?d 0D
t计②算力外微对元所作的 功括质量力包表与面力作所功的
单位时间。质内量所作的力为
功
??Fb1 ? dv x d y d
（z为么什是积点
）表力所作面功的将依各，应力分量分别计。算 x方
向的应单位时间力作所功
为
后面前压的力单时位间所内的作功
? ? ??p xx?u ? ? p? ?d x u d ? ? x p u??? x x d? dy ??z x x? x? ?x ?? ??
左右？面切的单力时位内间作的所
功？
p yx? ? ?? ?? d uy ?? u ? d y ?? p yux? d z xd?? p y x ? ?y y ?? ??? ?? 上
面的下力切单位间内时所作功的
??? ?px ?z ?u ? ?p d?zu dz? ? puzx d?dy x?? ??? x z?z ?z ?? ????
方向x的应单位力时间作所功为 后前压力面
左面右力切
?? ? pyx? ? ?u ? ??? px?x ? ?? u?? ? ?pxx ?? xd x? ? u ? ?x x ? d? xpux ? dy d z ?? ?p y x? ?yd y? u ? ?y? d y ?? pyx u? d d z ?x ? ?? ? ? ????? ? ? ?p? ??? u ?? ??? zx ? zx dpz ??u ? d z ? ? p zux ?d xd y上下切力面 z? ?? ?z ? ? ?
??
?u ? px yp ?xy? u? ??u px? ?pxx ?xu ?? ?pxx ? u d ? ?x xd d yd z? p ?x y ?? udy ? xddy dz?x ? x? ?y y ?? ? ? xx ? ??y y? ?p u ? ? ?? ?p ? ?upz x ?zxu ?z xd z d ? dxy d ?z zz ??? z ??
z
? py x?u?? ? xp x?u p?x ?u z?? ?? (?px u x ?) (p xuy )? pzx( )u ?d ? dy?x zd?d d x d z y?y ? zx ?? xy ?y? ?z? z? ? x? ??? ? ??? (pxxu ) ? ( pyu x) ? (pzx u ) ? xdd d yz? y? ? z? x
?什么等于0为
同， y理 向应的力功作
为？
??? ? ? ( xpyxv ) ?y?( p y vy)? ?z (pyzv) ? d dx dy z?? 同理， z
向的 应作力功为
? ? ??? ? x ? (xzpw) ? ?y ( yz p)w? ? (z pzzw) ? d xd y dz ?
?
将
部全表力所面功作相可加写为
??? ? ? ?? ? ?? ( p )u ?( p ) ?u p u( )dxdy z ?d( v p)? (pv ) (?p v d x) dydz ? y xz xx yy yyz ?x ?xx? ?? y ?z ?y? ?z ? ? ?? x ?? ? ?? ?( p w ) ( ?pw )? ( p w ) z yzz? ? x z ?xdxd yd z? ? zy ?
?? ? ? ? ? ??( p xx ?u xp v y?pxz w )?( p xuy p yy?v ?p y zw ) ? pz(u ? xp zy v p?zz w )? dxddyz y?? z ??x? ?? ? ? ?? (p x ??v ) ? p (y? v) ? ( z p? )v d?x d yd ?zy ? ?z ?x ?这样
对微元，六面，质体力量除（重去）和表力力面单在位时间共的功作
为
W d? ?? ? ??? ?? ?? ? ?? ? ?F ?bv ? (p x v?) ?p(y ? v ) (p ?z? v ?)d x y d zdd tx? ?y ?z? ?
③后最计算加给微元六面体再热量 的里计这的只是算射辐及热传导两种热 。辐热射通是电过磁波对体产流热量，设单生时 位
间内由辐传入单射位量质 体的热流量q，为单位则时间在内微元产内辐射生为
热？
d qx dy d
z导传热通过体表流面入传体流。ABD面元C传微元入热量的
为？k
?T dyd z?x
单时间内通位A过？B? ?C?面元D传微入元的量热
?为 T ?? ? T? k dy d ?z?k y d dz d? x?x ? x ?? x?
于
单位是间经时BCA、 AD? B?C D?两面共？传热量入
为？ ?T?? kdy d z ?d ?x ?x? ? x
?AA ?D? 、 DB ? C?C 两相B对元面位单间传入时热量
? 为？ ?? T? ? k zd d dyx ? ??y? ? y?
?AA BB ?D、?DC?两相对面元C位单时间传热入量
为
? ??T ? d dx yd z ?k ?? z? z?
?
因而
微元体经全部表，单面时间传入位微元的量为
热 ?? ??T ? ? ? T?? ? ? ? ??T? k? ?k ? ? ??? xdd d z ? yk? ? ?? ?x ?? ?x y ? ?? ? yz?? ?z ? ??? ? (k?T) d x dy d
zQ
? [? q ??? (k ?T ) ]dx d yd z 依热力学第一
律定
?D ? ? ? ??? es xdd y d z ? ? F? b1? v? ( px ? v ) t Dx?? ? ? ? ??? ? (p? y ? v)? (pz ? v) ? ?q ? ?? k(T )?? d x d dy z y ?z? ?
D ? ? ? ? e
s? Fb?1?V ? p x (?V ) ? p( ? y )V? (p z ? V )? ? q ? ? (k?? T ) t ?xD y? ?
z?
p x? V ?pxx u ? pxyv ?p xzw ?? p? y V ? ?p xy u? p yy v?p y zw ? ?p? ?z V pz?x u?pzy v ?p z wz上式
右三个量组成端一个了量矢以表并示
?
xp ?xp ? V ? ? p x ?y pz x?
pyxp y ypzy
p
x z? u ?? ?pxxu ? pyxv ? pz x w ? ?? ? ?? zyp ? v? ?? ? p xuy? p yyv ? py wz ? p? ?up v?p w?? ? p z ?zw ? ?? ? x zz yzz?
三个量 和之
? ? ? ??? ? ? (p x? ? )v ?p y( ?v ?) p (z? v )构 成散了度：? x?y ?
?z ? ? ??? ?? ? ? p( x? v) ? ( yp ? v ) (p?z ? ) v div?P( ? )v?x ? y z
?D
?D1 2 ?? s ? e ?e? v ? g z ?? Dt t ?D 2 ?? ?? ?F?b1 ? ? vid(v P v? )? d v(i kgrad T ? ?)
这就是q微分式的形能方量。
将程上式以除？，有
?
1 ?1 D s ? Fbe 1 ? v? di vP( ? v ) ? dv(i krgd aT ? q Dt)? ?
?1 ? 1 D es ?F b 1 v ? div(? ? v P )? dvik( gar T ) ?d qDt ??
式中各的项理物意：义 端左单位为质量体流存储（能包括能、内动量势及）能的化变；率
右端一项第为单位间内质时量（力除重去力）单位质对流体量作所 ；功 二项为单位时第内表面力间单位对质量流所作体功； 的第项三为单时间内位界通外过单质量位流体表面传入的传热，导
四项第为位单间内时加
给单位质流体量的射辐。热