《勾股定理小论文8篇》由精心整编，希望在【勾股定理小论文】的写作上带给您相应的帮助与启发。
关键词：初中数学 勾股定理 应用
中图分类号： G633.6 文献标识码： C 文章编号：1672-1578（2014）10-0100-02
1 引言
勾股定理是初中数学中非常重要的一个定理[1]。它很好地解释了直角三角形中三条边之间的数量关系，对于几何学当中有关直角三角形的计算机证明问题，利用勾股定理往往能够迎刃而解，使学生快速掌握解决方法。同时，在日常生活及工作当中，勾股定理的应用也非常广泛。因此，在初中数学教学过程中，充分利用好勾股定理这一有效手段进行解题显得尤为重要。笔者结合多年的教学经验，利用勾股定理，对初中数学当中的“线段求长问题”、“求角问题”、“证明垂直问题”及“实际问题”进行了分析与探究，希望以此能够为初中数学教学提供有效依据。
2 勾股定理在线段问题中的应用
在初中数学中，一些“线段求长”问题使用常规方面解决常表现的较为棘手，而使用勾股定理往往能够得以有效解决。
例题1：如图1，在三角形ABC中，已知：∠ABC=90°，AB=BC，三角形的三个顶点分别位于相互平行的三条直接l1、l2、l3上，并且l1与l2之间的距离为2，l2，与l3之间的距离为3，求AC的长度。
解：过A作l3的垂线交l3于D，过C作l3的垂线交l3于E，由已知条件：∠ABC=90°，AB=BC，得：RtABD与RtBEC全等；
所以，AD=BE=3，DB=CE=5；
进而得：AB2=BC2=32+52=9+25=34；
在直角三角形ABC中，AC2=AB2+BC2=68，
所以：AC=2■
3 勾股定理在求角问题中的应用
在初中数学当中，有些求角问题使用常规方法难以解决，而使用勾股定理则能够很快地解决。因此，将在求角问题中充分应用勾股定理便有着实质性的作用[2]。
例题2：如图2，在等边ABC中，有一点P，已知PA、PB、PC分别等于3、4、5，试问∠APB等于多少度？
解：把APC绕着点A旋转，旋转至ABQ，让AB和AC能够重合；此时，AP=AQ=3，BQ=PC=5，，∠PAQ=∠BAC=60°；
所以，PAQ是等边三角形；
所以，PQ=3；
在三角形PBQ当中，PB、BQ分别等于4、5，
所以，三角形PBQ是直角三角形，其中∠BPQ=90°；
所以，∠APB=∠BPQ +∠APQ=90°+60°=150°。
4 勾股定理在证明垂直问题中的应用
在初中数学当中，一些证明垂直的问题如果利用勾股定理进行求解，那么将能够达到事半功倍的效果。下面笔者结合有关证明垂直问题的题型展开讨论。
例题3：如图3所示，已知AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，ABAD，证明：BCBD[3]。
证明：由已知条件ABAD可知，在三角形ABD中，∠BAD=90°；
因为AD、AB分别为3、4，由勾股定理可知：BD2=AB2+AD2=32+42，求得：BD=5，
又因为BD2+BC2=52+122=132=CD2；
因此，三角形DBC为直角三角形，其中∠CBD=90°；
所以，BCBD。
5 勾股定理在实际问题中的应用
对于勾股定理，还能够解决实际问题，并且这些实际问题都是在日常生活中可以看到的。
例题4：一棵小树高为4米，现有小鸟A停留在树梢上，此时小鸟B停留在高20米的一棵大树树梢上发出友好的叫声，已知大树与小树的距离为12米，如果小鸟A以4m/s的速度飞往大树树梢，试问：小鸟A至少需要多长时间才能够与小鸟B在一起？
解：如图4，根据题干的已知条件可知，AC=16m，BC=12m，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=162+122，求得AB=20m；
所以，小鸟A所需时间为20/4=5秒。
笔者认为，利用勾股定理解决实际问题，需要弄清题意，进而对题目中所涉及的直角三角形找出来，然后结合勾股定理进行求解[4]。在例题4中，最主要的步骤便是依照题意，结合勾股定理，然后画出大树与小树之间的直角三角形，在充分利用已知条件的基础上，便能够使问题有效解决。
6 结语
通过本课题的探究，认识到在初中数学中，对于许多问题可以利用勾股定理进行求解。包括“线段求长问题”、“求角问题”、“证明垂直问题”及“实际问题”等。笔者认为，勾股定理在几何学当中占有非常重要的地位，它不仅仅只是一种解决数学问题的定理那么简单，它还与我们的日常生活息息相关。在数学教学过程中，学习勾股定理进行解题，不但能够提高学生解题的效率，而且还能够让学生对生活引发思考，从而在学习数学过程中，体会到生活与数学学科的密切联系，进一步为数学在生活中的实际应用奠定良机。
参考文献：
[1]兰玲玲。探究勾股定理在折叠问题中的应用[J].才智，2014，01：173-175.
[2]陈丽凤。应用勾股定理的逆定理解题例析[J].数学学习，2012，
05：27-32.
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2015）02A-
0079-02
勾股定理及其逆定理是初中数学中两个非常重要的定理，《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》对其要求是“探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。”笔者有幸参加了江苏省第26届“教海探航”苏派与全国名师课堂教学观摩活动，为期两天的教学观摩让众多教师受益匪浅，现将潘淳老师执教的《勾股定理的逆定理》的教学片段整理出来，与读者共赏。
一、片段呈现
【片段1】黑板上画出三个三角形（如下图），并提出问题：
<P：＼广西教育＼2014广西教育＼2015＼2015-2A＼图片＼a1.tif>+<P：＼广西教育＼2014广西教育＼2015＼2015-2A＼图片＼b.tif>=90°
图1 图2 图3
问题一：上节课我们一起学习了勾股定理的有关知识，观察黑板上第一个三角形（图1），你能结合图形利用已学的知识得到哪些信息？
生交流后可以得出∠C=90°，AC2+CB2=AB2，面积S=等。
问题二：观察第二个三角形（图2），由条件<P：＼广西教育＼2014广西教育＼2015＼2015-2A＼图片＼a1.tif>+<P：＼广西教育＼2014广西教育＼2015＼2015-2A＼图片＼b.tif>=90°你能得到哪些信息？
生交流后可以得出∠F=90°，DF2+FE2=DE2，面积S=等。
问题三：观察第三个三角形（图3），知道三角形三边长分别是3，4，5，你还能求出三角形的面积吗？
生交流后回答不能，缺少直角条件。
【片段2】勾股定理的逆定理一定成立吗？提出以下两个问题：
问题一：如果一个三角形的三边分别是3，4，5，那么这个三角形一定是直角三角形吗？如何判断呢？
生交流后给出“构造法”，利用两个三角形全等的基本事实，即“边边边（SSS）”来证明两个三角形全等。
问题二：若将三角形的三边3，4，5替换成a，b，c，还能得出∠C=90°吗？
生交流后使用“构造法”来证明两个三角形全等。
【片段3】
小活动：数学万花筒
师：根据图中条件，你能得出哪些信息？
生生、师生交流，得出相关结论。
二、教学评析
上述案例是潘淳老师在《勾股定理及其逆定理》中的教学片段。纵观这三个片段，可以发现这节课是一节求证的课，一节启发和开放的课，更是一节生长的课。陶行知曾经说过“课堂文化是生长文化，学生的学习生长状态首先决定于学生自主性的发挥，让自主成为课堂文化的基础。”本节课通过师生、生生合作探究，对“未知”不懈的“追问”，让学生主动建构，探究出未知的数学世界，达到知识与能力的自然生长。
（一）三角形求解――感受直角的必要性
本次课题是苏科版（江苏科学技术出版社）八年级上册第三章第二节《勾股定理的逆定理》，与旧版《神奇的数组》相比较，更侧重于探索勾股定理的逆定理的过程。因此，在探索勾股定理的逆定理的教学过程中，片段1是按照图①、图②、图③三个单个三角形的顺序来探索特殊三角形的某些特点。其中图1设计目的是已知直角三角形的两条直角边，要求能够利用勾股定理求出斜边长度，进而能够得出这个直角三角形的面积。教师在这个地方的教学处理中希望学生得出三角形的面积，以便在图2也能利用直角三角形性质求解面积，同时讨论图3中的三角形是否也能求出面积？若不能，缺少哪个条件？从而让学生在探索三角形面积的过程中，感受到三角形中直角的必要性，并在这个过程中培养学生解决问题的能力。在这一环节的设计中，为了强调培养学生“数学思考”能力的目的，教师需关注学生的最近发展区，对课堂的“生成”进行合理的“预设”，及时处理好引导与学生自主学习的关系。
（二）同一法的证明――逆定理的探索过程
解读教材是实现“用教材教”的基础。教学参考书中指出勾股定理的逆定理的证明方法是“同一法”。所谓“同一法”就是证明命题B和命题A是同一个对象，具体步骤如下：
第一步需要先构造一个具有A属性的图形B;
第二步证明B图形与已知A的条件符合；
第三步推理说明所做B图形与题设要求是一致的；
第四步是判断A所述图形具有这种属性。
在第一问证明中，师生交流思想，共同构建一个直角边长为3，4的直角三角形，然后证明以3，4，5为边的三角形与之全等，从而确定满足边长为3，4，5的三角形是直角三角形。通过这个具体数值的三角形证明，让学生熟悉同一法的证明过程，接着抛出一个更具一般性的问题，“若将三角形的三边3，4，5替换成a，b，c，还能得出∠C=90°吗？”由学生交流、独立证明。
在这一环节的设计中，教师渗透“同一法”的证明思想，即当定理的条件与结论所指的事件是唯一且范围相同，则原命题的逆命题一定成立。这时若证明原命题较难，可以证明其逆命题的一种间接证法。在这个证明的过程中，强化学生的数学意识，提升学生思维品质并感受数学构思的思辨美、哲学美与艺术美。
（三）数学万花筒――逆定理的简单运用
因为本节课是一节求证、启发、开放、生长的课，教学中渗透了由特殊到一般的探索过程，因此需要让学生经历知识的发生、发展与形成过程，体会形与数的内在联系，并能感受数学定理与逆定理和谐统一的辩证关系。在引导学生利用勾股定理的逆定理解决实际问题时，需要进行变式训练，并进行一题多解、一题多练，从而达到举一反三、触类旁通的目的。因此在课堂结尾处设置一个有趣的小活动――“数学万花筒”。
通过这个小活动，达到以下三个目的：
第一，增加课堂的趣味性，活跃学生思维。兴趣是求知的内在动力。激发起学生的兴趣，学习就会积极主动，学得轻松而有成效。而“数学万花筒”将枯燥乏味的练习题化被动为主动，通过充满童趣的小活动来吸引学生，促使学生积极主动地参与进来，在疲劳的课堂教学中点亮一抹绿色。
第二，巩固和检查本节课学生掌握情况。一节课中，教师讲授完新知后，一般随即开始各种形式和层次的训练、反馈，也就是进行知识的强化和巩固。有别于传统的课堂巩固习题，“数学万花筒”为教师及时提供开放式的学生评价和反馈信息的方法。
关键词：数学活动；实践与自主；趣味性；普及性
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）18-145-01
《数学课程标准》提出“让学生通过实践活动，初步获得一些数学活动的经验，了解数学与生活的广泛联系，加深对所学知识的理解，获得应用数学解决问题的思考方法，并能与他人合作交流，获得积极的数学学习情感。”在初中数学活动课的教学中，就应坚持以生为本的育人原则，充分挖掘每个学生的潜能，让学生通过观察、操作、分析、讨论、交流、猜测、合作等学习方式，引导学生自主学习，激发学生学习数学的兴趣，促进学生主动地、富有个性地学习，使学生真正成为学习的主人。下面笔者就谈谈上好数学活动课的几点体会。
一、体现学生的“实践与自主”是上好数学活动课的精髓
在活动课中，学生是活动的主体，教师应该结合学生的需要和兴趣，指导学生真正“动”起来。在活动中尊重学生新颖的思维方式，关键是要做到给学生较多的自由，让他们自主、独立地活动，真正成为学习的主人。
同时，在教育机制转轨的形势下，数学大众化已摆在数学教育的重要位置上，学生们步入社会后，相关的数学知识是不可缺少的，如测量、称重、数据处理、存款利率、商品折旧、有奖销售、股票买卖、商场应聘等，通过数学活动课，培养学生用数学的意识。
二、增强活动趣味性是上好数学活动课的关键
数学活动课不同于课堂教学，不但要强调科学性、知识性，更要强调趣味性、竞争性。教师只有以生动活泼的形式开展数学活动课，想方设法使活动变得更富有趣味性，才能激发学生的积极性和求知欲，才能使他们感到参与数学活动能轻松愉快地学到知识，才能使他们成为学习的主人。中学生好奇心强，求知欲旺盛，对新事物有着天生的亲切感，抓住这一特征，充分让他们动手拼、摆、折、分、数、画等一系列活动，亲自参与知识发现和探索过程，对大量的感性材料进行整理、分析、找出规律，使抽象的数学知识转化为形象的直观感受，提高学生学习数学的兴趣。
当然，增强活动趣味性的方法很多。如（1）数学史话 浩瀚的数学星空闪耀着古今中外名家的光辉，曲折的数学发展史上有多少可歌可泣的故事。例如：兔子繁殖演绎黄金分割，希帕索斯命丧鱼腹皆因 ，笛卡尔军营入梦绘得坐标系，《周髀算经》始出勾股定理并早于毕氏数百年，《九章算术》中引进正负开出平方立方照春秋。结合学科内容，教师针对性地引导、组织学生开展活动，使学生不但掌握了许多学科知识的来源，而且明确了任何事业的成功背后，都有汗水乃至生命的付出。学生从中不仅获得了知识，而且受到了辨证唯物主义及爱国主义的教育。此类活动可通过板报形式展示，也可用数学史知识竞赛或数学讲演等形式进行。（2）数学谜语教师或学生代表收集、编拟以数学名词为谜底（或谜面）的若干谜语，学生可随机抽出或由一主持人读出谜面，学生竞猜。若正确猜出谜底并能解释数学名词，则予以奖励（或以小组积分的形式进行对抗赛）。
三、实现活动的普及性是上好数学活动课的重要保证
给每个学生参与的机会，使全体学生都能动手做一做，达到因材施教，“动”有所得。如：（1）用一副三角板能拼画出哪些角？（2）找圆心（工具为笔和三角板）；（3）面积割补法证明勾股定理等。再如：学完三角形中位线后，可以提出顺次连接一般四边形的四边中点可得什么图形？其它四边形呢？让学生独立画图、研究，小组讨论，证明讨论，形成数学小论文，宣读小论文。这样大大提高学生自己动手，动脑，独立研究问题，解决问题的能力。
四、注重学生的创新性是对数学活动课的升华
许多发明创造都是多人合作的结果，集体智慧的结晶。活动课教学采用小组合作学习，是培养学生创新意识的一种有效的方法。学习小组可以由不同性别，不同成绩，不同能力的学生组成。在教学中，学生根据教师提供的系统材料和问题展开研讨和交流。这样优等生可以得到发展，中等生可以得到锻炼，学困生可以得到帮助和提高，群体之间的互补作用可以得到充分发挥。学生的合作能力、思维能力，特别是创新能力可以得到发展，同时学生在自主、独立的活动中也会有全新的发现和创造。
【关键词】 数学活动；动手操作；合作交流；数形结合
教材简介：
本课教材选自苏科版《数学综合与实践活动（八上）》初中数学教材中勾股定理与平方根一节。
教材分析：
勾股定理是初中数学教学中一个非常重要的定理，之前学生们运用方格纸，通过计算面积的方法探索了勾股定理。本课不只要求学生掌握验证方法，更重要的是通过丰富有趣的拼图活动，通过教师的指导、同伴的合作和学生亲自动手剪纸、拼图、验证等一系列数学活动，体会数形结合的思想，体会勾股定理的数学价值和文化价值。
教学目标：
1.经历综合运用已有知识解决问题的过程，在此过程中加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。
2.经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。
3.通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。通过丰富有趣的拼图活动增强学生对数学学习的兴趣。
教学重点难点：
重点：通过拼图验证勾股定理及勾股定理的应用过程，使学生获得一些研究问题与合作交流的方法经验。
难点：利用数形结合的方法验证勾股定理。
教学方法：
引导、操作、合作、探究，多媒体辅助教学
教学过程：
本节课主要是通过几个活动让学生体验并探究勾股定理的一些验证方法，首先通过情景创设激发学生探究的激情。
情境创设：
1.你知道勾股定理的内容吗？说说看。
画直角三角形并写出勾股定理的表达式。
2.你知道关于勾股定理的哪些历史故事？你知道勾股定理的来历和有多少种证法吗？
课件展示毕达哥拉斯的雕像图片和地砖图片，讲述毕达哥拉斯发现勾股定理的故事。
3.前面我们运用方格纸，通过计算面积的方法探索了勾股定
理。今天我们再来探究勾股定理的其他验证方法。
活动一：
活动准备：用硬纸板各剪4个完全相同的直角三角形（不妨设两直角边分别为a、b，且a≤b，斜边为c），再剪2个边长分别为c和（b-a）的正方形。
活动要求：你能选用这些中的部分图形拼成一个大正方形吗？
你能用拼成的图形验证勾股定理吗？
学生小组合作交流探究并展示。（了解学生拼图的情况及利用自己的拼图验证勾股定理的情况。教师在巡视过程中，相机指导，并让学生展示自己的拼图及让学生讲解验证勾股定理的方法，并根据不同学生的不同状况给予适当的引导，引导学生整理结论。）
通过对弦图的分析，得到面积的关系
c2=（b－a）2＋4ab 化简得：a2+b2=c2
课件介绍三国时期东吴人赵爽的“勾股圆方图”，也称为“弦图”，并出示赵爽弦图和世界数学家大会会标。
活动二：
四个直角三角形还可以怎么摆成正方形呢？
学生先独立探究，再小组活动交流，并上黑板展示拼图方法和验证：由面积关系得到：（a+b）2＝c2＋4× ab，化简得：a2+b2=c2。
活动三：
你能用两个直角边分别为a、b，且a≤b，斜边为c的直角三角形和一个直角边为c的等腰直角三角形拼图并验证勾股定理吗？
如图：两个全等的直角三角形ABC和BEF的三边长分别为a、
b、c可得面积关系 （a+b）2＝ c2＋2× ab
化简得：a2+b2=c2
课件介绍：“总统证法”――美国第二十任总统伽菲尔德。
活动总结交流：活动二和活动三的证法其实完全相同。
课件展示与欣赏毕达哥拉斯证法和印度婆什迦罗的证明，并让学生展示课前查找资料了解到的证明方法。
活动四：制作五巧板验证勾股定理。
步骤：
1.做一个RtABC，以斜边AB为边向内做正方形ABDE，并在正方形内画图，使DFBI，CG=BC，HGAC，这样就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。
沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。
2.取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C为边长的正方
形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形，你能拼出来吗？（给学生充分的时间进行拼图、思考、交流经验，对于有困难的学生教师要给予适当引导。）
归纳小结，形成技能。今天这节课你有何收获？
（如验证勾股定理的方法、数形结合的数学思想、我国古代科学家的成就、合作交流的方法与经验………）
课后作业：
上网查找有关利用拼图来验证勾股定理证明的方法，每人至少能说出一种与本课提到的不一样的方法，若有好的方法可用小论文的形式写出来。
教学反思：
本课的教学设计中，让学生通过制作拼图，通过动手操作，合作交流，发现问题，让学习内容问题化，让教材成为学生核心学习活动鲜活的材料。
首先是用四个全等的直角三角形拼图验证，其实活动一和活动二学生在操作的时候并不一定按你所设计的顺序，学生可能先拼出赵爽弦图，也可能先拼出活动二中的大正方形，关键是让学生去操作、实践，去自主探究，教师要因势利导，及时让学生充分展示。这种没有限制的学习方式，会大大丰富了学生对于数学学习的兴趣。
一、充分挖掘教材的“做”资源
在初中苏教版的教材中不乏让学生通过动手来解决问题的实例，教学中，教师要引导学生在掌握基本数学定义、概念、定理的基础上来动手解决问题。如在教材中有“数学活动”和“课题学习”栏目，目的就是让学生能通过理论学习后动手来解决问题。以八年级上册为例，该册教材中共安排了六个“数学活动”，如其中的“利用轴对称图形设计图形”，要使学生能设计出轴对称图形，首先就得明白“什么是轴对称图形？什么叫两个图形成轴对称？轴对称主要有哪些性质？”而当学生在设计中，对这些知识的学习不再是由教师讲授，更多的是学生自主的探究过程，主动性更强。同时，教师还可以利用为班级、学校设计班徽、校徽等活动来引导学生将对称图形应用于生活实践中，提高学生的实践能力。
教学中，教师不能固守于对知识的传授教学，哪怕是以新课程理念来进行教学，也不能只将教学的重点放在提高学生的解题能力上，更要注重学生操作能力的培养。以梯形中位线教学为例，教学中，教师先让学习小组任意画出一个梯形ABCD并作出中位线EF，然后以三角形中位线为过渡，提出问题“梯形中位线和上下底到底存在什么关系”，接着以实验形式组织学生探究。实验中引导学生通过画梯形和中位线，量角度、讨论交流来探究梯形中位线和梯形上下底的关系，效果甚于直接讲述。
二、注重从生活中来引导学生“做”起来
生活是广泛的，在生活中蕴含着丰富的数学知识，引导学生以数学的眼光来看待生活，在生活中发现数学问题并运用数学知识解决这些问题，从而提高学生的实践能力。
如在学校开展运动会中，教师可以引导学生思考当跑道线宽、道宽和终点位置确定时，如何进行起点的确定？在标枪、铅球、铁饼比赛中，角度如何确定等问题，让学生根据实际生活情况而运用数学知识进行解决。再如在学习了勾股定理后，组织学生对旗杆进行测量，同样也可以利用勾股定理来对池塘的宽度进行测量。
其次，注重课堂的拓展。我们无法将数学知识全部应用于生活，但在数学课堂中学习的知识，教师可以引导学生通过另一种方式去“做”。目前，随着互联网的广泛应用，数学学习方式也更丰富。教学中，教师可以借助这些外在条件来拓展课堂。如在勾股定理的学习中，教师让学生回家后利用互联网来收集相关勾股定理的证明方面，寻找勾股数，发现其中的规律，通过资料的收集，了解勾股定理的历史，并寻找生活中勾股定理应用的例子，最后形成一个小论文。再次教学时，通过展示、交流，能较好地拓展学生的知识面，对提高学生的学习兴趣也大有裨益。
当然，在课堂中教师也可以通过组织学生进行数学实验活动来引导学生在观察、实验、分析、猜想、归纳中发现数学，让数学学习成为一种再创造。如教师提出问题“把一张三角形纸片剪成两个三角形，能使它们刚好相似吗？”来引导学生思考能不能剪，如果能剪，要怎么剪？接着以剪纸活动来进行实验证明，在剪纸中发现很多学生都以特殊三角形入手来解决这个问题。同样，在学习“三角形内角和和多边形内角和”的过程中，教师也同样可以利用剪纸活动来进行实验。
三、注重“做”的时间和空间的保障
动手实践是培养创新能力的有效方法，教学中，要保证“做”能达到预期的教学目标，教师还要注重控制好“做”的时间和空间。
首先在时间控制上，要在短短的40分钟内让学生从假设到实验，从导入到总结，这就需要教师事先做好科学的计划。如在三角形的内角和的学习中，教师首先要布置学生准备一些形状各异的三角形纸片、量角器。教学中，先给学生3分钟时间测出各自三角形的内角和，然后提出问题“如果不用量角器，你有什么办法能快速地知道一个三角形的内角和是180°”来作为过渡，引导学生展开探究，在探究中通过拼一拼（如将两个三角形平凑为一个正方形或长方形）、摆一摆（两个同学将各自的三角形挑选后进行组合摆放）、剪一剪（将一般三角形剪为特殊三角形）等活动，让学生在做中通过利用旧知识来思考问题，从而获得新知识。
教师要重视运用情感和成功原理，唤起学生学好数学的热情，重视培养学生正确对待困难和挫折的良好心理素质。教师要利用现代教育技术，扩大学生学习和运用数学的渠道；扩大学生视野，发展他们应用数学知识跨学科解决问题的意识和能力。备课中，教师要有教学探究的目的性，讲解的适度性，材料准备的群体性，课堂教学的延伸性，以及教材处理的科学性。
2.教师要紧盯学生错题不放。
学生在学习基础知识时不求甚解，粗心大意，满足于一知半解，忽视对结论的周密思考，往往出现不切实际、数据出错、答非所问、前言不搭后语等现象，特别是一些“隐性错误”发生频率较高。因此，教师应紧盯学生错误，精心设计教学情境，引导学生剖析错误原因，给学生重新理解的机会，使学生在纠错过程中掌握、理解、运用。学生应将错误进行收集，摘录入纠错本，建一个属于自己的数学错题库，从中获得反思的对象信息，并在反思中弥补知识上的不足和思维上的缺陷。帮助学生分析根源，是旧知识干扰还是新知识没掌握；是知识本身难度大还是自身粗心大意；是理解不深刻还是思考不周密；是经验发生错误还是动手运算出现错误；是普遍性错误还是特殊性错误……对症下药，适时改进，杜绝此类情况重复发生，让学生思维品质得到优化。
3.设计长期性作业，培养学生的规律性和意志力。
学生作业的过程，不应是一个被动汲取知识、记忆、反复练习、强化储存的过程，而是以积极的心态，调动原有的知识和经验，尝试解决新问题，同化新知识，并积极建构新知识的主动学习的过程，也是学生学习知识创新、方法创新的过程。可以根据具体情况布置一些长期作业，培养学生规律性作业的习惯和解决问题的意志力。如：
（1）写数学周记。让学生把平时观察到的身边的数学知识、与数学有关的事件、学习中发现的数学规律、解题中的新方法、某些运算法则、公式的新的推导方法、对某个知识产生的疑问等及时记录分析，定期（一周）互相作一次交流，互相评价。如学生在学习完《勾股定理》后，让学生搜集有关勾股定理的实例、历史事件等，以周记的形式记录下来。不但使学生熟悉掌握了勾股定理的知识，还锻炼了搜集处理材料的能力和写作能力，也从材料搜集中培养了学生的民族自豪感和爱国主义情怀。
（2）写数学小论文。例如在学习了《图形的平移与旋转》知识后，可结合学校校园建设的实际，提供给学生一些材料：学校自由活动区的占地面积为1000平方米。其中可以有四个周长为31.4米的绿色花圃，以及其他一些活动设施。让学生利用几天时间，设计一项实际应用的小论文。有的学习小组通过调查，写了一份调查报告：关于1000平方米新活动区域的设计构想。其中仅地面的测量、图案、所用材料、价格等就用了许多设想，调查了许多信息。
4.巧设提问，消除障碍。
课堂提问是组织课堂教学的重要手段，是实施启发式教学的一个重要环节。教师在创设问题时，应考虑学生生活的环境，尽量从学生的实际出发。提出的问题要具有一定的难度，有难度的问题才能激发学生认知上的冲突，才能够体现问题的价值，同时问题的难度要适中，尽量把问题落在学生的“最近发展区”，即在学生的现实水平与潜在水平之间的区域，这样的问题才能充分调动学生原有的认知，使学生在课堂上处于思维活跃的状态，激发探究欲望，拓展探究空间。一个好的提问，不仅能激发学生的学习兴趣，而且能迅速集中学生的注意力，启迪思维、开发智力，同时化解学生在解决问题的障碍。
5.训练学生进行有效的解题反思。
解数学题决不能解一题丢一题，这样做无助于解题能力的提高。解题后的反思是提高解题能力的一个重要途径。一道数学题经过一番艰辛，苦思冥想解出答案之后，必须认真进行解题反思：命题的意图是什么？考核我们哪些方面的概念、知识和能力？验证解题结论是否正确合理，命题所提供的条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据，严密完善？本题有无其他解法――一题多解？众多解法中哪种最简捷？把本题的解法和结论进一步推广，能否得到更有益的普遍性结论――举一反三，多题一解？但许多同学在完成作业方面，因为学习态度和心理状态的不同，或者老师缺少必要的指导和训练，大部分都缺少这一重要环节，未能养成良好的解题习惯，解题能力和思维品质未能在更深和更高层次得到有效提高和升华。
6.加强小组合作交流，提高学生的团结协作意识。
进入初中以后，尤其是初二开始，老师已经能够明显感觉到学生的两极分化现象日趋严重，而仅凭老师的力量改变这一现状非常困难。这时，老师可以采取小组合作的方式解决该问题。我们不妨将班级的学生分成若干个四人小组，每组组长由班级数学成绩较好且表达能力较强的同学担任，由他们帮助本组成员（主要是中等偏下的同学）解决作业或考试中产生的疑问，而老师只负责解决组长或个别同学的问题，这样教学效果会大大增强。通过多次有意识的小组合作，同学们会渐渐习惯并喜欢上这种无拘无束的合作方式，而实践发现这样不仅能大大避免两极分化的趋势，而且能迅速提高中等生的成绩。长此以往，学生的学习能力提高了，合作意识增强了，对教师的依赖性降低了，更有利于学生的可持续发展。
7.教师要钻研教材，用心备课，多预设课堂中的问题方案。
在数学活动课中，动和用是整个活动课的重点，学生在活动中思考，感受知识的价值所在，培养学生运用所学数学知识解决实际问题的能力。
下面结合教材中数学活动课的具体实例，来谈谈初中“数学活动课”的作用。
一、加深对课本知识的认识
例如，数学活动“算24”。这是一种比较常见的扑克牌游戏，在一副扑克牌中，把扑克牌中的黑色数字规定为正数，而扑克牌中的红色数字则定为负数，J表示11,Q表示12,K表示13,A表示1,2张JQKER表示O,根据活动课中的规定，把扑克牌平均分给每一个人，每次出4张牌，根据扑克牌上所表示的数进行有理数的混合运算(每张牌只能用1次),按规定算出24.四张同样的扑克牌可以有多种算法，为了培养学生的学习兴趣，提高学生的竞争意识，可采用抢答的方式进行回答，无论是谁，只要提供一种正确的计算方法就可以加分。利用这种方法，并鼓励学生自主创新规则，开发新游戏，让学生在活动中增强数感，提高学生运算速度和对有理数运算的熟练掌握程度，加深学生对课本知识的进一步理解。
二、了解数学史，体会数学美
例如，数学活动“关于勾股定理的研究”。活动前，教师首先将学生进行分组，4个人一组并选定活动的课题，如找勾股数、收集能证明勾股定理的各种方法、挖掘勾股定理的历史、找寻生活中应用到勾股定理的实际例子等。根据以上课题，让学生去图书馆查阅资料、上网站收集所需资料，并把收集到的资料整理好，从中选出自己认为最满意的拼图验证方法来，全班同学进行进一步交流、探索和研究，并将探索的成果总结出来写成小论文的形式。学生通过对勾股定理的研究，对勾股定理的了解更加深刻，并发现勾股定理的历史，体会了数形结合的思想，而且懂得了勾股定理的文化价值。
三、建立数学模型，运用已有知识解决问题
例如，数学活动“拼图公式”。事先准备多张正方形和长方形硬纸片，并一一涂成不同的颜色。教师让学生分小组共同拼出活动课中的图形（数学活动中提供的例图）.要求学生用不同的方法计算出所拼长方形的面积，并写出相应的计算式来。学生经过此次拼图活动，经历了从具体问题――数学问题――建立模型――综合运用已有的知识解决问题的这一过程。从中学会了研究问题的方法，并获得运用已有知识解决问题的经验。
四、激发创新思维，培养数学思想方法
例如，数学活动“正方体涂色”。先准备一个白萝卜，把白萝卜做成一个正方体的形状，在正方体的表面用彩笔涂上颜色，然后把正方体的棱进行二等分，切成8个小正方体。让学生在切的同时注意观察小正方体表面涂色情况，并让学生找出来。如果把正方体的棱进行三等分呢？切得27个小正方体，再让学生观察小正方体表面的涂色情况，以此类推，四等分、五等分、六等分涂色情况如何？切成n等分后呢？学生在经过亲自切正方体的课堂活动后，明白了从特殊到一般的过程，体会了数学在生活中的运用和联系，并获得了研究问题和解决问题的方法和经验，感受到此类问题采用数学归纳思想方法去解答。
又如，数学活动“矩形绿地中的花圃设计”。在一块长42m、宽28m的矩形绿地中，要围出一个花圃来。要求花圃面积应为矩形面积的一半。对于这样一个花圃可以有很多种设计方案，比如，可以在矩形绿地中间另围出一个小型矩形花圃，要使围出的花圃面积与花圃以外四周的绿地面积相同，这样就要使围出花圃后，四周的绿地宽度保持一致，然后画出设计方案，并计算出相关数据，最后谈谈各自设计方案的特点进行交流学习。通过这种开放性的问题解答，既提高了学生的审美情趣，又激发了学生的创新思维和创新意识。
五、强化数学意识，发展合作意识和科学精神
例如，数学活动“测量建筑物的高度”。在此活动中事先要准备的测量工具有卷尺、测角仪；确定要测量的对象：建筑物，建筑物分底部可以到达的和底部不能到达的。学生可以先进行讨论，讨论完后设计出切实可行的具体方案，到室外进行实际测量。活动结束后，让学生写出活动报告，并运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题。活动前应提出安全方面的要求，观察、指导活动作必要的记录，并在活动中积极想办法，克服困难，发展合作意识和科学精神。
【关键词】数学反思；数学核心素养；数学学习习惯
【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）46-0035-02
【作者简介】张晓兵，江苏省苏州高新区实验初级中学（江苏苏州，215011）教师，高级教师。
教育部数学教学指导委员会委员、基础教育教材审查委员、博士生导师王尚志教授提出中国学生在数学学习中应具备数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养。在平时的数学教育教学过程中，让学生通过数学学习获得数学核心素养的提升是每一名数学教师应该思考和研究的课题，通过哪些方式获得提升更是我们应该探索和讨论的话题。笔者认为让学生学会数学反思能够助推数学核心素养的提升。
一、反思有常，增强能力
孔子说过“学而不思则罔”，指的是一味读书而不思考，就会因为不能深刻理解书本的意义而不能合理有效地利用书本知识，甚至会陷入迷茫。目前初中数学学习过程中，大部分学生只是被动地接受知识，接受大量的练习，而缺乏对自己学习的知识、学习的方式以及学习的经验进行自我反思。虽然一些学生有学好初中数学的意愿，但是难以发现问题的症结，难以用已有的经验来指导后续的学习，更做不到提升数学核心素养。他们的典型表现是“课上都能听懂，作业也都能做，时间一长就忘记”；他们对知识似懂非懂，只求知道是什么，很少追求为什么；他们只注重套用课堂教师讲解的方法、程序，而知识增多时常会“张冠李戴”。
针对“学而不思则罔”的现象，笔者让学生每天的数学学习都是从数学反思开始，反思每天的数学学习内容，反思教师讲解的思路，反思问题解决的关键点，反思前后知识的联系，反思问题的变化与统一，等等，让数学反思成为数学学习的核心环节，使学生的数学学习成为探究性、研究性的数学活动，增强学生的能力，提高学生的创造力，提升学生的数学素养，促进他们的全面发展。
二、反思有物，强化针对
数学对象的抽象性、数学活动的探索性、数学推理的严谨性和数学语言的特殊性，决定了正处于思维发展阶段的初中生不可能一次性地直接把握数学活动的本质，必须要经过多次的反复思考、深入研究、自我调整，坚持进行数学反思，才可能洞察数学活动的本质特征，提高学习效率和学习能力。要针对数学素养进行数学反思，强化数学反思的阶段性、针对性和有效性。
例如：在学习“有理数的运算”时，有学生会在学习了运算法则后一味地进行练习，虽然这样好像会在较短的时间内提升运算能力，可能单元检测的效果也不错，但随着时间的推移，会发现一些学生不断重复出现的错误，错多了只会继续练习，继而形成恶性循环，甚至导致有学生会怀疑自己天生就是数学运算能力弱。为了改变这样的现状，笔者尝试让学生体会有理数的运算法则和小学学习的运算法则有哪些异同，观察比较练习中出现的错误，从错误中反思运算法则的应用和数学运算的习惯，调整数学运算的经验，并辅以针对性的数学运算练习，让学生在练习中反思，在反思中提高对法则的理解，大大提升数学运算的核心素养。
还例如：学习“勾股定理”时，通常会有教师让学生记住勾股定理然后辅以大量的习题练习，也许这样能够提升课堂的练习量和授课容量，但一段时间后学生可能就忘记了勾股定理应用的条件，只会机械地进行重复练习，知识多了自然容易错位。笔者在教学这部分内容时让学生参与勾股定理发现的过程，通过折叠、拼图、计算等方式发现勾股定理，并在探求的过程中让学生积极反思，体验解决同一问题的方法的多样性，并经历观察―猜想―归纳―验证―反思的数学发现过程，体会数形结合和由特殊到一般的数学思想，提升直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学素养。在数学学习的不同阶段针对不同的数学学习内容，有意识地进行数学反思，让学生在数学学习过程中不断思索，这样的数学反思才会更有针对性，才能助推数学核心素养的提升。
三、反思有形，促进思维
数学反思应该在数学学习的每个过程中进行，可以渗透在每一个学习环节中，让数学反思成为一种习惯，才能真正提升学生的数学核心素养，学生才会在平时的日常生活中用数学的眼光看待事物，分析问题。数学反思的形式多种多样，合适的数学反思形式可以最大限度地推动数学核心素养的提升，如在学习“一次函数的应用”时，笔者抛出思考题，“你脑海中的一次函数是什么？你认为它有哪些应用？请独立思考后回答”。这样的思考题，一下子让学生进入了沉思，等待一会后学生纷纷发言，有的说“可以用它的表现形式进行应用，研究解析式、图像、性质等的关系”，有的说“一次函数不仅可以在数学上进行应用，还可以赋予实际情境在实际问题中进行应用”，有的说“可以把一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式组合起来进行应用”，有的说“可以在一次函数的图像与坐标轴的交点及图像的平移、翻折、旋转等变换上设置应用”……这时教师适时让学生合作学习，一个小组就其一点进行研究，并举例汇报说明，教师适度点评，整个活动不仅热烈而且有一定的深度。让数学反思出现在数学学习的开始，让学生畅所欲言，这样的研究是他们感兴趣的，是他们在自行反思和探究的基础上进行的，这样的探索自然事半功倍，也极大地提升了学生的数学建模、数学分析等数学核心素养。
除了可以在课堂教学中进行数学反思，也可以在学生每天的自主学习过程中进行数学反思，笔者在平时的教学实践中要求学生在每天的自主作业开始前进行反思，反思当天学习的内容，思考所学内容与前后知识的联系，回忆其中的重点、难点和注意点，回顾研究的方式方法，并在反思的基础上完善对应的思维导图。例如在教学完“特殊的平行四边形”后，让学生完善知识结构图，用思维导图的方式整理这部分内容，并就这部分的学习心得撰写数学小论文。学生在学习接受新知识、进行知识应用后，通过反思、构画思维导图、撰写数学小论文等方式，很好地对这部分内容进行了整理和重构，理顺了四边形、平行四边形、特殊的平行四边形之间的关系，并能对照三角形研究的经验进行对比研究，完善不同知识网络间的联系。经历自主学习中不同形式的反思过程，学生学习数学的兴趣变得更强，研究的氛围变得更为浓厚，学习的内容不仅有了深度更有了广度，大大提升了学生的思维能力，助推了数学核心素养的形成。
说题也是数学反思的一个很好的形式，通过说题进行数学反思有多种形式：可以在学习新知识时说如何应用新知识解决新问题，可不可以用旧知识解决同一问题，多种方法比较后哪一种方法更巧妙；也可以说自己的错题，分析错因，追根溯源，反思知识上的盲点和思维习惯上的误点，寻求解决问题避免犯同种错误的方法；同样可以在某一单元知识学完之后说说这部分内容中的典型题，由点带面，寻求问题的主线，举一反三，强调数学的变化与统一，强调数学的特殊与一般。说题前必须要让学生提前进行准备，准备时间可长可短，由说题内容决定。说题不是做题和解题，说题不仅要让学生说出怎么做还必须要让学生说出为什么这样思考，有没有更好地思路，你是如何发现的，等等。数学反思的形式多种多样，在抓住形的同时更多地要关注质的提升，要让数学反思助推数学核心素养的提升。
总之，在数学学习的过程中，关注数学反思，有意识地渗透及时反思的习惯，将能大力助推提升学生的数学核心素养。
【参考文献】
[1]董林伟。初中数学课堂教学有效性的设计研究[M].南京：江苏科学技术出版社，2009.
[2]章建跃。数学基础知识及其教学的再认识[J].中学数学教学参考，2008（05）.